一道极限题目lim(x→0)sinx+xf(x)/x^3=1/2 求f(0),f`(0),f``(0)

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 20:24:27

一道极限题目lim(x→0)sinx+xf(x)/x^3=1/2 求f(0),f`(0),f``(0)
一道极限题目
lim(x→0)sinx+xf(x)/x^3=1/2 求f(0),f`(0),f``(0)

一道极限题目lim(x→0)sinx+xf(x)/x^3=1/2 求f(0),f`(0),f``(0)
用泰勒公式展开法,在 x=0 点
sinx=x-1/3!*x^3+o(x^4)
f(x)=f(0)+f'(0)*x+f''(0)/2!*x^2+o(x^3)
那么 (sinx+xf(x))/x^3
=(x-1/3!*x^3+o(x^4)+f(0)*x+f'(0)*x^2+f''(0)/2!*x^3+o(x^4))/x^3
=(1+f(0))*x+f'(0)*x^2+(f''(0)/2!-1/3!)*x^3+o(x^4))/x^3
如果极限成立,并且等于 1/2
那么只能是
1+f(0)=0
f'(0)=0
f''(0)/2!-1/3!=1/2
因此
f(0)=-1
f'(0)=0
f''(0)=(1/2+1/3!)*2!=1+1/3=4/3
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