作业帮在三角形ABC中,a/sinB=b/sinC=c/sinA,试判断三角形ABC形状
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 08:55:37
在三角形ABC中,a/sinB=b/sinC=c/sinA,试判断三角形ABC形状
在三角形ABC中,a/sinB=b/sinC=c/sinA,试判断三角形ABC形状
在三角形ABC中,a/sinB=b/sinC=c/sinA,试判断三角形ABC形状
根据正弦定理：
sinA/sinB=sinB/sinC=sinC/sinA
∴sinAsinC=sin² B①,sinAsinB=sin²C②,sinBsinC=sin² A
①/②：sinC/sinB=sin² B/sin² C
∴sinB/sinC=1
∵∠B+∠C＜180°
∴∠B=∠C
同理,∠A=∠B
∴∠A=∠B=∠C
∴为等边三角形
等边三角形
设a/sinB=b/sinC=c/sinA=k，于是：
a=ksinB
b=ksinC
c=ksinA
又根据正弦定理：
a/sinA = b/sinB = c/sinC
因此：
ksinB/sinA = ksinC/sinB = ksinA/sinC
于是：
sinB/sinA = sinC/sinB = sinA...
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设a/sinB=b/sinC=c/sinA=k，于是：
a=ksinB
b=ksinC
c=ksinA
又根据正弦定理：
a/sinA = b/sinB = c/sinC
因此：
ksinB/sinA = ksinC/sinB = ksinA/sinC
于是：
sinB/sinA = sinC/sinB = sinA/sinC
sin²A=sinBsinC............(1)
sin²B=sinAsinC............(2)
sin²C=sinAsinB............(3)
(1)/(2)得：
sin²A/sin²B=sinB/sinA，所以：
sin³A=sin³B
∴A=B
同理：
B=C
A=C
综上：
A=B=C
所以，该三角形是等边三角形
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