在三角形ABC中,已知向量AB AC=9,sinB=cosA sinC,S三角形ABC=6,P是线段AB上的一点且向量CP=x向量CA/向量CA的模+y向量CB/向量CB的模,则1/x+1/y最小值为______________

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 05:39:52

在三角形ABC中,已知向量AB AC=9,sinB=cosA sinC,S三角形ABC=6,P是线段AB上的一点且向量CP=x*向量CA/向量CA的模+y*向量CB/向量CB的模,则1/x+1/y最小值为______________
在三角形ABC中,已知向量AB AC=9,sinB=cosA sinC,S三角形ABC=6,
P是线段AB上的一点且向量CP=x*向量CA/向量CA的模+y*向量CB/向量CB的模,则1/x+1/y最小值为______________

在三角形ABC中,已知向量AB AC=9,sinB=cosA sinC,S三角形ABC=6,P是线段AB上的一点且向量CP=x*向量CA/向量CA的模+y*向量CB/向量CB的模,则1/x+1/y最小值为______________
设AB=c,BC=a,AC=b
∵sinB=cosA•sinC∴sin（A+C）=sinCcosnA
即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA
∴sinAcosC=0∵sinA≠0∴cosC=0 C=90°
∵AB•AC=9,S△ABC=6
∴bccosA=9,1／2bcsinA=6
∴tanA=4／3,sinA=4／5,cosA=3／5,bc=15
∴c=5,b=3,a=4
以AC为x轴,以BC为y轴,建立直角坐标系
C（0,0）A（3,0）B（0,4）
P为线段AB上的一点,则存在实数λ使得CP=λCA+(1-λ)CB=（3λ,4-4λ）
设CA|CA|=e1,CB|CB|=e2
|e1|=|e2|=1,e1=(1,0),e2=(0,1)
∴CP=xCA／|CA|+yCB／|CB|=（x,0）+（0,y）=（x,y）
∴x=3λ,y=4-4λ,则4x+3y=12
1／x+1／y=1±12(1／x+1／y)(4x+3y)=1／12(7+3y／x+4x／y)≥7／12+√3／3

设向量CA/|CA|=a,则向量a为单位向量，同理设向量CB/|CB|=b；
∵sinB=cosAsinC ∴AC=ABcosA
又∵S⊿ABC=1/2ABACsinA =6 ABAC=9
∴