作业帮将2010表示为k(k为正整数)个互异的平方数的和,则k的最小值是___.要是3个，就要证明“2个是不行的“啊~
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 16:09:02
将2010表示为k(k为正整数)个互异的平方数的和,则k的最小值是___.要是3个，就要证明“2个是不行的“啊~
将2010表示为k(k为正整数)个互异的平方数的和,则k的最小值是___.
要是3个，就要证明“2个是不行的“啊~
将2010表示为k(k为正整数)个互异的平方数的和,则k的最小值是___.要是3个，就要证明“2个是不行的“啊~
证明“2个是不行的”
整数按被3除的余数,形式仅有：①3K、②3K - 1、③3K + 1,
则他们的平方分别为:9K²、9K²-6K+1、9K²+6K+1.
从上面看出,平方数被3除总是余0或1.
2010被3除余0,要使K=2,则2010是两个被3整除的平方数的和,即这两个平方根都是3的倍数.则两个平方数都是9的倍数.
推得当K = 2时,2010必须是9的倍数,与实际矛盾.
反证得 K = 2不成立.
当K = 3时,考虑到组合情况较多,成立的可能性大,则尝试一下有：
44^2 + 7^2 + 5^2 = 2010
40^2 + 19^2 + 7^2 = 2010
40^2 + 17^2 + 11^2 = 2010
……
综上,K最小为3
应该是4，即44、8、3、1。
是3个．因为2010的开方是44.8330...
2010-44^2=74=49+25
因为74不是某个整数的平方，所以要符合题意k的最小值必须大于2，现将74拆成两个数的平方或其他数个数的平方，但是74能拆成7和5两个数的平方（74=7^2+5^2），所以2010＝44^2+7^2+5^2
因此，将2010表示为k(k为正整数)个互异的平方数的和，则k的最小值是3．...
全部展开
是3个．因为2010的开方是44.8330...
2010-44^2=74=49+25
因为74不是某个整数的平方，所以要符合题意k的最小值必须大于2，现将74拆成两个数的平方或其他数个数的平方，但是74能拆成7和5两个数的平方（74=7^2+5^2），所以2010＝44^2+7^2+5^2
因此，将2010表示为k(k为正整数)个互异的平方数的和，则k的最小值是3．
收起
只有一个一个的试，K=3!
44^2+7^2+5^2
2010=x^2+y^2(不妨设0
所以x,y同号
（1）x,y若同为偶不妨设x=2k,y=2m
得到4k^2+4m^2=2010
k^2+m^2=52.5矛盾
（2）x,y若同为偶不妨设x=2k+1,y=2m+1（0
全部展开
44^2+7^2+5^2
2010=x^2+y^2(不妨设0
所以x,y同号
（1）x,y若同为偶不妨设x=2k,y=2m
得到4k^2+4m^2=2010
k^2+m^2=52.5矛盾
（2）x,y若同为偶不妨设x=2k+1,y=2m+1（0
k^2+k+m^2+m=502
k
k<16同时得到m>=16
可以将16-22依次代入检验一下
都不可以所以2010不能表示成2个数平方和的形式
收起