作业帮超几何分布与二项分布的一个关系的证明!超几何分布C(M,m)*C(N-M,n-m)/C(N,n)令N趋近于无穷大,M趋近于无穷大但M/N趋近于p,0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 16:47:13
超几何分布与二项分布的一个关系的证明!超几何分布C(M,m)*C(N-M,n-m)/C(N,n)令N趋近于无穷大,M趋近于无穷大但M/N趋近于p,0
超几何分布与二项分布的一个关系的证明!
超几何分布C(M,m)*C(N-M,n-m)/C(N,n)
令N趋近于无穷大,M趋近于无穷大但M/N趋近于p,0
超几何分布与二项分布的一个关系的证明!超几何分布C(M,m)*C(N-M,n-m)/C(N,n)令N趋近于无穷大,M趋近于无穷大但M/N趋近于p,0
take Ln for 超几何分布C(M,m)*C(N-M,n-m)/C(N,n)
it changes to
ln C(M,m) + ln C(N-M,n-m) - ln C(N.n)
=ln M!- ln m!- ln(M-m)!+ ln(N-M)!- ln (n-m)!- ln (N-M-n+m)!
- ln N!+ ln n!+ ln (N-n)!
= ln (C(n,m)) + lnM!- ln(M-m)!+ ln (N-M)!- ln(N-M-n+m)!-ln N!+ln(N-n)!
use Stirling Formula :
for large number M; ln M!is approxiamtely equal to M(lnM-1)
plug this into each term in the equation above
like
ln M!= MlnM -M
ln(M-n)!=(M-n)ln(M-n)-(M-n)
and so on
taking m/M,n/N,nad (n-m)/(N-M) as small factors,you can get:
last equation
= ln(C(n,m))+mlnp +(n-m)ln(1-p)
=ln(C(n,m)*(p^m)*(1-p)^(n-m))
which means C(M,m)*C(N-M,n-m)/C(N,n)
will goes to C(n,m)*(p^m)*(1-p)^(n-m)