作业帮如图,点D是等边△ABC外一点,且DB＝DC,∠BDC＝120°,将一个三角尺60°的顶角放在点D上,三角尺的两边DP、DQ分别与射线AB、CA相交于E、F两点.（1）当EF∕ ∕ BC时,如图①,证明：EF＝BE＋CF(2)当三角尺绕
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 18:31:14
如图,点D是等边△ABC外一点,且DB＝DC,∠BDC＝120°,将一个三角尺60°的顶角放在点D上,三角尺的两边DP、DQ分别与射线AB、CA相交于E、F两点.（1）当EF∕ ∕ BC时,如图①,证明：EF＝BE＋CF(2)当三角尺绕
如图,点D是等边△ABC外一点,且DB＝DC,∠BDC＝120°,将一个三角尺60°的顶角放在点D上,三角尺的两边DP、DQ分别与射线AB、CA相交于E、F两点.
（1）当EF∕ ∕ BC时,如图①,证明：EF＝BE＋CF
(2)当三角尺绕点D旋转到如图②的位置时,线段EF、BE、CF之间的上述数量关系是否成立?如果成立请给予证明；如果不成立写出EF、BE、CF之间的数量关系,并说明理由.
（3）当三角尺绕点D继续旋转到如图③的位置时,（1）中的结论是否发生变化?如果不变化,直接写出结论；如果变化,请直接写出EF、BE、CF之间的数量关系.
如图,点D是等边△ABC外一点,且DB＝DC,∠BDC＝120°,将一个三角尺60°的顶角放在点D上,三角尺的两边DP、DQ分别与射线AB、CA相交于E、F两点.（1）当EF∕ ∕ BC时,如图①,证明：EF＝BE＋CF(2)当三角尺绕
如图,点D是等边△ABC外一点,且DB=DC,∠BDC=120°,将一个三角尺60°的顶点放在点D上,角的两边分别为DP、DQ
（1）证明：
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°．
∵DB=DC,∠BDC=120°,
∴∠DBC=∠DCB=30°．
∴∠DBE=∠DBC+∠ABC=90°,
∠DCF=∠DCB+∠ACB=90°,
∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°．
∴AE=AF．
∴BE=AB-AE=AC-AF=CF．
又∵DB=DC,∠DBE=∠DCF,
∴△BDE≌△CDF,
∴DE=DF∠BDE=∠CDF=30°．
∴BE=
1
2
DE=
1
2
DF=CF．
∵∠EDF=60°,
∴△DEF是等边三角形．
即DE=DF=EF．
∴BE+CF=
1
2
DE+
1
2
DF=EF．
（2）结论仍然成立．
证明：如图,在AB的延长线上取点F′,使BF′=CF,连接DF′．
由（1）得,∠DBE=∠DCF=90°
则∠DBF′=∠DCF=90°,
又∵BD=CD,
∴△DCF≌△DBF’（SAS）
∴DF=DF′,∠BDF′=∠CDF,
又∵∠BDC=120°,∠EDF=60°
∴∠EDB+∠CDF=60°
∴∠EDB+∠BDF′
=∠EDF′=∠CDF=60°,又DE=DE,
∴△EDF′≌△EDF（SAS）．
∴EF=EF′=BE+BF’=BE+CF．
（3）结论发生变化．EF=CF-BE．
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