在Rt三角形ABC中,角ACB=90°,AC=BC,P、Q为斜边AB上两点,角PCQ=45°试说明AP²+BQ²=PQ²

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 02:04:10

在Rt三角形ABC中,角ACB=90°,AC=BC,P、Q为斜边AB上两点,角PCQ=45°试说明AP²+BQ²=PQ²
在Rt三角形ABC中,角ACB=90°,AC=BC,P、Q为斜边AB上两点,角PCQ=45°试说明AP²+BQ²=PQ²

在Rt三角形ABC中,角ACB=90°,AC=BC,P、Q为斜边AB上两点,角PCQ=45°试说明AP²+BQ²=PQ²
证明:将△BCQ绕点C旋转到BC与AC重合,将旋转后的点Q设为D
∵AC=BC,∠ACB=90
∴∠B=∠BAC=45
∵△BCQ绕点C旋转至△ACD
∴AD=BQ,CQ=CD,∠CAD=∠B=45,∠DCA=∠QCB
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90
∴AP²+AD²=PD²
∴AP²+BQ²=PD²
∵∠PCQ=45
∴∠ACP+∠QCB=∠ACB-∠PCQ=45
∠DCP=∠ACP+∠DCA=45
∴∠DCP=∠PCQ
∵CP=CP
∴△PCD≌△PCQ (SAS)
∴PQ=PD
∴AP²+BQ²=PQ²