设A是n阶实对称矩阵,证明：（1）A的特征值全是实数；（2）若A为正定矩阵,则A^2也是正定矩阵

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 19:25:03

设A是n阶实对称矩阵,证明：（1）A的特征值全是实数；（2）若A为正定矩阵,则A^2也是正定矩阵
设A是n阶实对称矩阵,证明：（1）A的特征值全是实数；（2）若A为正定矩阵,则A^2也是正定矩阵

设A是n阶实对称矩阵,证明：（1）A的特征值全是实数；（2）若A为正定矩阵,则A^2也是正定矩阵
(1) 设λ是A在复数域内的一个特征值,X是属于λ的特征向量(未必是实向量),即有AX = λX.
用B*表示B的复共轭的转置,由A是实对称矩阵,有A* = A.
考虑1×1矩阵X*AX,可知(X*AX)* = X*A*(X*)* = X*AX,即X*AX唯一的矩阵元是实数.
由AX = λX,有X*AX = λX*X,而X*X是以X的元素的绝对值的平方和为元素的1×1实矩阵.
且由X ≠ 0,有X*X ≠ 0.λ与非零实数相乘得实数,即λ为实数.
(2) 首先由A是实对称矩阵,易知A²也是实对称矩阵.
对任意实向量X,用X'表示X的转置,则有X'A²X = (AX)'(AX) = ||AX||².
其中||AX||表示向量AX的模长(各元素的平方和的算术平方根).
于是X'A²X ≥ 0,且等号成立当且仅当AX = 0.
而A是正定矩阵,所以也是可逆的,即AX = 0只有零解.
即得X'A²X ≥ 0对任意实向量X成立,且等号成立当且仅当X = 0.
故A²为正定矩阵.

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