如图,圆O中两条相等的弦AB,CD分别延长到E,F,使BE=DF求证EF的垂直平分线必过圆心如图,圆O中两条相等的弦AB,CD分别延长到E,F,使BE=DF 1.求证EF的垂直平分线必过圆心 2.若AB与CD在圆O内相交于P,同样延

如图,圆O中两条相等的弦AB,CD分别延长到E,F,使BE=DF求证EF的垂直平分线必过圆心如图,圆O中两条相等的弦AB,CD分别延长到E,F,使BE=DF 1.求证EF的垂直平分线必过圆心 2.若AB与CD在圆O内相交于P,同样延
如图,圆O中两条相等的弦AB,CD分别延长到E,F,使BE=DF求证EF的垂直平分线必过圆心
如图,圆O中两条相等的弦AB,CD分别延长到E,F,使BE=DF 1.求证EF的垂直平分线必过圆心 2.若AB与CD在圆O内相交于P,同样延长AB,CD,使BE=DF,那么是否有1中相同的结论,请说明理由
5楼的，我有爸爸了。 再说一句，我是女的，而且我还小，不可能是你的爸爸。还有，神经有问题的人呢，千万不要骗自己，不要拖，要马上去看医生哦！如果你不方便的话，我可以帮你联系的。

如图,圆O中两条相等的弦AB,CD分别延长到E,F,使BE=DF求证EF的垂直平分线必过圆心如图,圆O中两条相等的弦AB,CD分别延长到E,F,使BE=DF 1.求证EF的垂直平分线必过圆心 2.若AB与CD在圆O内相交于P,同样延
⑴作AB,CD的弦心距OG,OH.
⊿OEG≌⊿OHF.OE=OF.用等腰三角形三合一定理.EF的中垂线过O点.
⑵成立,证明照⑴抄（图形不同!）

证明：
过圆心做OM⊥AB，ON⊥CD，OQ⊥EF，垂足就是对应的字母M N Q
由垂径定理知 BM=1／2AB=1／2CD=DN 且OM=ON 又有BE=DF
∴ME=NF，再有∠OME=∠ONF
∴ △OME≌△ONF（SAS）
∴有OE=OF0
∵OQ⊥EF
∴∠OQE=∠OQF=90°且OQ=OQ
∴△OQE≌△OQF ...

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证明：
过圆心做OM⊥AB，ON⊥CD，OQ⊥EF，垂足就是对应的字母M N Q
由垂径定理知 BM=1／2AB=1／2CD=DN 且OM=ON 又有BE=DF
∴ME=NF，再有∠OME=∠ONF
∴ △OME≌△ONF（SAS）
∴有OE=OF0
∵OQ⊥EF
∴∠OQE=∠OQF=90°且OQ=OQ
∴△OQE≌△OQF （HL）
∴EQ=FQ 即OQ垂直且平分线段EF
即线段EF的垂直平分线过圆心O（如果是学了集合，第2个“即……”可换为“即得到求证命题的充要条件命题”，这样叙述正规些）
第2问明显也成立，你可以参看我上面的过程，并未涉及到两条弦的交点问题，只要两条弦不重合，原命题都成立（因为这个问题的证明主线是三角形的全等及边角的转化，所以只要不重合就会存在三角形，就有全等）
有种特殊情况：P点与O点重合，也就是说，AB，CD是两条不重合的直径，这是就不需要考虑第一次三角形的全等，只需考虑第2次就可证得
我有两三年都没做平面几何的题了，过程可能有不规范和错误的地方还望指正啊

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(老师教圆的时候没怎么用心，于是学的很菜，虽然能证但可能麻烦了点，因为我都是用比较基础的东西证的，希望不介意~)
1.
证明：
连接AD,BC,BD。并延长BA,DC,设交于点H，过O作ON垂直于BD,延长交EF于M
∵0N⊥BD
∴ON平分BD（即ON是BD的中垂线.根据垂径定理）
∵AB=CD
∴AB弧=CD弧
∴...

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(老师教圆的时候没怎么用心，于是学的很菜，虽然能证但可能麻烦了点，因为我都是用比较基础的东西证的，希望不介意~)
1.
证明：
连接AD,BC,BD。并延长BA,DC,设交于点H，过O作ON垂直于BD,延长交EF于M
∵0N⊥BD
∴ON平分BD（即ON是BD的中垂线.根据垂径定理）
∵AB=CD
∴AB弧=CD弧
∴AB弧+AC弧=CD弧+AC弧(即AD弧=BC弧)
∴∠ABD=∠CDB
∴HD=HB（△HDB是等腰三角形）
∵BE=DF
∴HD+DF=HB+BE（即HF=HE，△HFE是等腰三角形)
根据等腰三角形的三线合一可知△HDB的角平分线即是BD的中垂线ON，而∠DHB的平分线也是△HEF的角平分线，所以它也是EF的中垂线OM，所以EF的垂直平分线必过圆心O
2.连接BD,作OV垂直DB,延长与EF交于点Q,作AB,CD的圆心距OI,OL
∵OV⊥DB
∴OV平分DB（即OV是DB的中垂线）
∵AB=CD
∴OI=OL
∵OD=OB=r，∠OIB=∠OLD
∴△OIB≌△OLD
∠PDO=∠PBO
∵OD=OB
∴∠ODB=∠OBD
∴∠ODB+∠PDO=∠OBD+∠PBO（即∠PDB=∠PBD)
∴DP=BP（△PDB是等腰三角形)
∵DF=BE
∴DP+DF=BP+BE（即PF=EF,△PFE是等腰三角形)
根据等腰三角形的三线合一可知△PDB中∠DPB的平分线即是DB的中垂线OV，同理得在等腰三角形PEF中∠DPB也是EF的中垂线OQ，所以OV与OQ在同一直线上，EF的垂直平分线必过圆心O

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1.
证明：
连接AD,BC,BD。并延长BA,DC,设交于点H，过O作ON垂直于BD,延长交EF于M
∵0N⊥BD
∴ON平分BD（即ON是BD的中垂线.根据垂径定理）
∵AB=CD
∴AB弧=CD弧
∴AB弧+AC弧=CD弧+AC弧(即AD弧=BC弧)
∴∠ABD=∠CDB
∴HD=HB（△HDB是等腰三...

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1.
证明：
连接AD,BC,BD。并延长BA,DC,设交于点H，过O作ON垂直于BD,延长交EF于M
∵0N⊥BD
∴ON平分BD（即ON是BD的中垂线.根据垂径定理）
∵AB=CD
∴AB弧=CD弧
∴AB弧+AC弧=CD弧+AC弧(即AD弧=BC弧)
∴∠ABD=∠CDB
∴HD=HB（△HDB是等腰三角形）
∵BE=DF
∴HD+DF=HB+BE（即HF=HE，△HFE是等腰三角形)
根据等腰三角形的三线合一可知△HDB的角平分线即是BD的中垂线ON，而∠DHB的平分线也是△HEF的角平分线，所以它也是EF的中垂线OM，所以EF的垂直平分线必过圆心O
2.连接BD,作OV垂直DB,延长与EF交于点Q,作AB,CD的圆心距OI,OL
∵OV⊥DB
∴OV平分DB（即OV是DB的中垂线）
∵AB=CD
∴OI=OL
∵OD=OB=r，∠OIB=∠OLD
∴△OIB≌△OLD
∠PDO=∠PBO
∵OD=OB
∴∠ODB=∠OBD
∴∠ODB+∠PDO=∠OBD+∠PBO（即∠PDB=∠PBD)
∴DP=BP（△PDB是等腰三角形)
∵DF=BE
∴DP+DF=BP+BE（即PF=EF,△PFE是等腰三角形)
根据等腰三角形的三线合一可知△PDB中∠DPB的平分线即是DB的中垂线OV，同理得在等腰三角形PEF中∠DPB也是EF的中垂线OQ，所以OV与OQ在同一直线上，EF的垂直平分线必过圆心O

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