作业帮求极限的问题：lim(n→∞) {[a^(1/n)+b^(1/n)/2} 其中a,b大于0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 12:34:01
求极限的问题：lim(n→∞) {[a^(1/n)+b^(1/n)/2} 其中a,b大于0
求极限的问题：lim(n→∞) {[a^(1/n)+b^(1/n)/2} 其中a,b大于0
求极限的问题：lim(n→∞) {[a^(1/n)+b^(1/n)/2} 其中a,b大于0
lim(n→∞) {[a^(1/n)+b^(1/n)]/2} ^n
=lim(n→∞){1+[a^(1/n)+b^(1/n)-2]/2}^n
=lim(n→∞){1+[a^(1/n)+b^(1/n)-2]/2}^{2/[a^(1/n)+b^(1/n)-2]*[a^(1/n)+b^(1/n)-2]/(2/n)}
=e^lim(n→∞)[a^(1/n)+b^(1/n)-2]/(2/n)
=e^lim(x→0)[a^x+b^x-2]/(2x)
而lim(x→0)[a^x+b^x-2]/(2x)
=lim(x→0)[a^x*lna+b^x*lnb]/2(罗必塔法则)
=(lna+lnb)/2
原式=e^[(lna+lnb)/2]
=e^(lna/2)*e^(lnb/2)
=a^(1/2)*b^(1/2)
=(ab)^(1/2)
lim(n→∞) [(n^3-1）/(3*n^2 n)-an-b] =lim(n→∞) [(1-3a)n^3-(a 3b)n^2-bn-1]/(3*n^2 n)]=0 所以 1-3a=0,且a 3b
为了求解方便，设x=1/n。则当n->∞时，x->0.
于是，原式=lim(n->∞){[(a^(1/n)+b^(1/n))/2]^[1/(1/n)]}
=lim(x->0){[(a^x+b^x)/2]^(1/x)}
=lim(x->0){e^[ln((a^x+b^...
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为了求解方便，设x=1/n。则当n->∞时，x->0.
于是，原式=lim(n->∞){[(a^(1/n)+b^(1/n))/2]^[1/(1/n)]}
=lim(x->0){[(a^x+b^x)/2]^(1/x)}
=lim(x->0){e^[ln((a^x+b^x)/2)/x]} (应用对数变换)
=e^{lim(x->0)[ln((a^x+b^x)/2)/x]} (应用初等函数的连续性)
=e^{lim(x->0)[((a^x)lna+(b^x)lnb)/(a^x+b^x)]} (0/0性极限，应用罗比达法则)
=e^[(lna+lnb)/2]
=e^[ln(ab)/2]
=e^[ln√(ab)]
=√(ab)。
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