关于组合数公式的推导(除高中课本上的两个公式外的三个公式的推导)除高中课本上的两个公式外的三个公式的推导就是一个是等于2的N次方,另一个是等于2的N-1次方的两个...

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 01:59:04

关于组合数公式的推导(除高中课本上的两个公式外的三个公式的推导)除高中课本上的两个公式外的三个公式的推导就是一个是等于2的N次方,另一个是等于2的N-1次方的两个...
关于组合数公式的推导(除高中课本上的两个公式外的三个公式的推导)
除高中课本上的两个公式外的三个公式的推导
就是一个是等于2的N次方,另一个是等于2的N-1次方的两个...

关于组合数公式的推导(除高中课本上的两个公式外的三个公式的推导)除高中课本上的两个公式外的三个公式的推导就是一个是等于2的N次方,另一个是等于2的N-1次方的两个...
定理(1)二项式系数和等于2^n
∵(1+x)^n=Cn0+Cn1x+Cn2x^2+Cn3x^3+…+Cnnx^n
令x=1得
Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2^n
定理2:奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和
∵(1+x)^n=Cn0+Cn1x+Cn2x^2+Cn3x^3+…+Cnnx^n
令x=1得
Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2^n ①
令x=-1得
Cn0-Cn1x+Cn2x^2-Cn3x^3+…+Cnn(-x)^n=0 ②
由②得
Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…
所以奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和
再代入①得
Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2^(n-1)