作业帮在1,2,3,4．．．100这100个自然数中任选2个不同的数,使得取出两数的和是6的倍数,则有多少种不同的取法?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 03:25:40
在1,2,3,4．．．100这100个自然数中任选2个不同的数,使得取出两数的和是6的倍数,则有多少种不同的取法?
在1,2,3,4．．．100这100个自然数中任选2个不同的数,使得取出两数的和是6的倍数,则有多少种不同的取法?
在1,2,3,4．．．100这100个自然数中任选2个不同的数,使得取出两数的和是6的倍数,则有多少种不同的取法?
自然数被6除余数有6种情况：1,2,3,4,5,0
在1到100中,对应6种余数的情况的数分别有17,17,17,17,16,16个,若要取出的数之和被6整除,即要二者的余数相加为6
将这100个数按余数分为6组,若2个数在不同组,要被6整除只有1+5,2+4两种情况.则是17*17*2=578种.
若2个数在同一组,则只有均在余数为3的组或余数为0的组,则有(17*16/2)*2=272种.
两种情况合计578+272=850种.
将这100个数分成六类，被6除余1，有17个；被6除余2，有17个；被6除余3，有17个，6除余4，有17个，6除余5，有16个，6整除，有16个.被6除余1与被6除余5的两数之和能被6整除，共有17×16种不同的取法；同样被6除余2与被6除余4的两数之和能被6整除，共有17×17种不同的取法；再有被6除余3的数，它们中任意两数之和能被6整除，共有17×16÷2种不同的取法；同理被6整除的数，它们...
全部展开
将这100个数分成六类，被6除余1，有17个；被6除余2，有17个；被6除余3，有17个，6除余4，有17个，6除余5，有16个，6整除，有16个.被6除余1与被6除余5的两数之和能被6整除，共有17×16种不同的取法；同样被6除余2与被6除余4的两数之和能被6整除，共有17×17种不同的取法；再有被6除余3的数，它们中任意两数之和能被6整除，共有17×16÷2种不同的取法；同理被6整除的数，它们中任意两个数之和也能被6整除，共有16×15÷2种不同的取法.所以这100个数任取两个不同的数，使得其和是6的倍数的不同取法共有：
17×16+17×17+17×16÷2+16×15÷2=817（种）
收起