作业帮用十进制表示的某些自然数,恰好等于它的各位数字之和的16倍,求所有这样的自然数之和.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 11:57:39
用十进制表示的某些自然数,恰好等于它的各位数字之和的16倍,求所有这样的自然数之和.
用十进制表示的某些自然数,恰好等于它的各位数字之和的16倍,求所有这样的自然数之和.
用十进制表示的某些自然数,恰好等于它的各位数字之和的16倍,求所有这样的自然数之和.
稍微试了一下,发现满足条件的自然数极少,
设这个数的位数为n,
分类讨论：
(1)
当n=1时,设个位为a,则
16a=a,不可能,舍去；
(2)
n=2时,设个位、十位分别为a、b,则
16(a+b)=10b+a,即6b+15a=0,因为a是从0到9的整数,b是从1到9的整数,所以左边大于0,不成立,舍去；
(3)
n=3时,设个、十、百位分别为a、b、c,则
16(a+b+c)=100c+10b+a,即6b+15a=84c,此时有可能成立,暂时保留,稍后继续讨论；
(4)
n=4时,设个、十、百、千位分别为a、b、c、d,则
16(a+b+c+d)=1000d+100c+10b+a,因为一个n位数中除了最高位是从1到9的数外,其他数位都是从0到9的数,所以右边最小值为1000,而左边最大值为16*(9+9+9+9)4时同样可以和(4)一样考虑,左边的最大值永远小于右边的最小值,这样考虑,则方程都无解,所以n>4的情况都可以舍去.
……………………………………………………………………
所以只有n=3时,此方程可能有解,
因此问题转化为三元不定方程,
n=3,个、十、百位分别为a、b、c,则
16(c+b+a)=100c+10b+a,
即6b+15a=84c,
左边最大值为6*9+15*9=189,所以右边c只能为1和2,
分类讨论：
(a)
当c=2时,6b+15a=168,因为a、b的最大值为9,所以容易判断此时只有一组解a=8,b=8,即此时此数为288,
(b)
当c=1时,6b+15a=84,容易知道a=2,b=9,或a=4,b=4,也就是说这个分类下有2个数,即144和192,
综上所述,符合题意的只有3个数：288,144,192,
这三个数的和是288+144+192=624,
所以你要求的所有这样的自然数的和是624,
如果楼主有兴趣的话可以再探讨!