作业帮证明函数f(x)=lg(x+根号x2+1) 在R上为单调增函数根号下（x平方+1）为何(x2-x1)+[根号（x2平方+1）-根号（x1平方+1）]>0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 08:25:47
证明函数f(x)=lg(x+根号x2+1) 在R上为单调增函数根号下（x平方+1）为何(x2-x1)+[根号（x2平方+1）-根号（x1平方+1）]>0
证明函数f(x)=lg(x+根号x2+1) 在R上为单调增函数
根号下（x平方+1）
为何(x2-x1)+[根号（x2平方+1）-根号（x1平方+1）]
>0
证明函数f(x)=lg(x+根号x2+1) 在R上为单调增函数根号下（x平方+1）为何(x2-x1)+[根号（x2平方+1）-根号（x1平方+1）]>0
取x1
=(x2-x1)+[根号（x2平方+1）-根号（x1平方+1）]
>0
∴x+根号（x平方+1）在R上是单调增的
f(x2)=[x2+根号（x2平方+1）]
f(x1)=[x1+根号（x1平方+1）]
∵x2+根号（x2平方+1）>x1+根号（x1平方+1）
∴f(x2)>f(x1)
∴f(x)在R上为单调增函数
【说明】
(x2-x1)+[根号（x2平方+1）-根号（x1平方+1）]
=(x2-x1)+（x2平方-x1平方）/[根号（x2平方+1）+根号（x1平方+1）]【分子有理化】
=(x2-x1)+(x2-x1)(x2+x1)/[根号（x2平方+1）+根号（x1平方+1）]
=(x2-x1){1+(x2+x1)/[根号（x2平方+1）+根号（x1平方+1）]}
x2-x1>0,这个没问题吧
下面来解决1+(x2+x1)/[根号（x2平方+1）+根号（x1平方+1）]的符号
|x2|<|根号（x2平方+1）|,|x1|<|根号（x1平方+1）|
所以|(x2+x1)/[根号（x2平方+1）+根号（x1平方+1）]|<1
再加1,肯定大于0
两个都是大于零的式相乘,肯定大于零
取x1
=(x2-x1)+[根号（x2平方+1）-根号（x1平方+1）]
>0
∴x+根号（x平方+1）在R上是单调增的
f(x2)=[x2+根号（x2平方+1）]
f(x1)=[x1+根号（x1平方+1）]
∵x2+根号（x2平方+1）>x1+根号（x1平方+1）
全部展开
取x1
=(x2-x1)+[根号（x2平方+1）-根号（x1平方+1）]
>0
∴x+根号（x平方+1）在R上是单调增的
f(x2)=[x2+根号（x2平方+1）]
f(x1)=[x1+根号（x1平方+1）]
∵x2+根号（x2平方+1）>x1+根号（x1平方+1）
∴f(x2)>f(x1)
∴f(x)在R上为单调增函数
【说明】
(x2-x1)+[根号（x2平方+1）-根号（x1平方+1）]
=(x2-x1)+（x2平方-x1平方）/[根号（x2平方+1）+根号（x1平方+1）]【分子有理化】
=(x2-x1)+(x2-x1)(x2+x1)/[根号（x2平方+1）+根号（x1平方+1）]
=(x2-x1){1+(x2+x1)/[根号（x2平方+1）+根号（x1平方+1）]}
x2-x1>0，这个没问题吧
下面来解决1+(x2+x1)/[根号（x2平方+1）+根号（x1平方+1）]的符号
|x2|<|根号（x2平方+1）|，|x1|<|根号（x1平方+1）|
所以|(x2+x1)/[根号（x2平方+1）+ 根号（x1平方+1）]|<1
再加1，肯定大于0
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