求y=x+1/x的单调区间,用定义法证明

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 17:13:46

求y=x+1/x的单调区间,用定义法证明
求y=x+1/x的单调区间,用定义法证明

求y=x+1/x的单调区间,用定义法证明
明：
设0

求导分区间来解决

你分别设F(X+1)>F(X) 解不等式为单调増区间
设F(X+1)

当x>1时，
令x1>x2>=1,
则，f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2=x1-x2-(x1-x2)/x1*x2=(x1-x2)(1-1/x1*x2)
因为，x1>x2>=1,所以，x1-x2>0；(1-1/x1*x2)>0
所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-1/x1*x2)>0
所以，当x∈[1,∞）时，f(x)为增函数...

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当x>1时，
令x1>x2>=1,
则，f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2=x1-x2-(x1-x2)/x1*x2=(x1-x2)(1-1/x1*x2)
因为，x1>x2>=1,所以，x1-x2>0；(1-1/x1*x2)>0
所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-1/x1*x2)>0
所以，当x∈[1,∞）时，f(x)为增函数
当0则，x1-x2<0, x1*x2<1, 1-1/x1*x2<0
所以f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2=x1-x2-(x1-x2)/x1*x2=(x1-x2)(1-1/x1*x2)>0
所以当x∈(0,1）时，f(x)为减函数
当-1则x1-x2<0, x1*x2<1, 1-1/x1*x2<0
所以f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2=x1-x2-(x1-x2)/x1*x2=(x1-x2)(1-1/x1*x2)>0
所以当x∈(-1,0）时，f(x)为减函数
当x<=-1时，令x1则，x1-x2<0, x1*x2>1, 1-1/x1*x2>0
所以f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2=x1-x2-(x1-x2)/x1*x2=(x1-x2)(1-1/x1*x2)<0
所以当x∈(-∞,-1）时，f(x)为增函数
所以，单调增区间为（-∞，-1]∪[1，∞）,
单调减区间为(-1,0）∪（0，1）

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明：
设0y1-y2=x1-x2+1/x1-1/x2
=x1-x2-(x1-x2)/x1x2
=(x1-x2)(1-1/x1x2)
当00，此时y为减函数
当1

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明：
设0y1-y2=x1-x2+1/x1-1/x2
=x1-x2-(x1-x2)/x1x2
=(x1-x2)(1-1/x1x2)
当00，此时y为减函数
当1因此，该函数的单调递减区间为(0,1]，单调递增区间(1,+无穷).

收起

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