已知奇函数f(x)=ln(m+x)-ln(1-x)证明函数f(x)在[0,1/2]上具有单调性,并求f(x)在该区间内的最小值.ps:不要用导函数,还没学,看不懂

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 22:21:52

已知奇函数f(x)=ln(m+x)-ln(1-x)证明函数f(x)在[0,1/2]上具有单调性,并求f(x)在该区间内的最小值.ps:不要用导函数,还没学,看不懂
已知奇函数f(x)=ln(m+x)-ln(1-x)证明函数f(x)在[0,1/2]上具有单调性,并求f(x)在该区间内的最小值.
ps:不要用导函数,还没学,看不懂

已知奇函数f(x)=ln(m+x)-ln(1-x)证明函数f(x)在[0,1/2]上具有单调性,并求f(x)在该区间内的最小值.ps:不要用导函数,还没学,看不懂
m+x>0 1-x>0
x>-m x

设0f(x1)-f(x2)=ln(m+x1)-ln(1-x1)-ln(m+x2)+ln(1-x2)=ln[(m+x1)/(m+x2)]+ln[(1-x2)/(1-x1)]
=ln[(m-mx2+x1-x1x2)/(m-mx1+x2-x1x2)]
∵x∈[0,1/2]∴0∵x1∴(...

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设0f(x1)-f(x2)=ln(m+x1)-ln(1-x1)-ln(m+x2)+ln(1-x2)=ln[(m+x1)/(m+x2)]+ln[(1-x2)/(1-x1)]
=ln[(m-mx2+x1-x1x2)/(m-mx1+x2-x1x2)]
∵x∈[0,1/2]∴0∵x1∴(m-mx2+x1-x1x2)-(m-mx1+x2-x1x2)=m(x1-x2)+(x1-x2)=(m+1)(x1-x2)<0
∴0∴(m-mx2+x1-x1x2)/(m-mx1+x2-x1x2)<1
∴f(x1)-f(x2)<0
∴f(x1)∴在{0,1/2]上单调递增。最小值为f(0)=lnm

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