求高一的各种数列的题型

求高一的各种数列的题型
求高一的各种数列的题型

求高一的各种数列的题型
求数列通项公式的常规思想方法列举（配典型例题）
数列是高考中的重点内容之一,每年的高考题都会考察到,小题一般较易,大题一般较难.而作为给出数列的一种形式——通项公式,在求数列问题中尤其重要.本文给出了求数列通项公式的常用方法.
一． 观察法
例1：根据数列的前4项,写出它的一个通项公式：
（1）9,99,999,9999,…
（2）
（3）
（4）
（1）变形为：101－1,102―1,103―1,104―1,……
∴通项公式为：
（2） （3） （4） .
观察各项的特点,关键是找出各项与项数n的关系.
二、定义法
例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列,数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列,若函数f (x) = (x－1)2,且a1 = f (d－1),a3 = f (d+1),b1 = f (q+1),b3 = f (q－1),
(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；
(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2,a 3 = f (d+1)= d 2,
∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d,
∴d=2,∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q2,b3 =f (q－1)=(q－2)2,
∴ =q2,由q∈R,且q≠1,得q=－2,
∴bn=b•qn－1=4•(－2)n－1
当已知数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数列的通项公式,只需求得首项及公差公比.
三、 叠加法
例3：已知数列6,9,14,21,30,…求此数列的一个通项.
解 易知
∵


……

各式相加得 ∴
一般地,对于型如 类的通项公式,只要 能进行求和,则宜采用此方法求解.
四、叠乘法
例4：在数列｛ ｝中, =1, (n+1)• =n• ,求 的表达式.
由(n+1)• =n• 得 ,
= • • … = 所以
一般地,对于型如 = (n)• 类的通项公式,当 的值可以求得时,宜采用此方法.
五、公式法
若已知数列的前 项和 与 的关系,求数列 的通项 可用公式
求解.
例5：已知下列两数列 的前n项和sn的公式,求 的通项公式.
（1） . （2）
（1）
= = =3
此时, .∴ =3 为所求数列的通项公式.
（2） ,当 时

由于 不适合于此等式 . ∴
注意要先分n=1和 两种情况分别进行运算,然后验证能否统一.
例6. 设数列 的首项为a1=1,前n项和Sn满足关系

求证：数列 是等比数列.
解析：因为
所以

所以,数列 是等比数列.
六、阶差法
例7.已知数列 的前 项和 与 的关系是
,其中b是与n无关的常数,且 .
求出用n和b表示的an的关系式.
解析：首先由公式： 得：






利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系,即
其和为 .
七、待定系数法
例8：设数列 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和,若c1=2,c2=4,c3=7,c4=12,求通项公式cn
设

点评：用待定系数法解题时,常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式,一般地,若数列 为等差数列：则 , （b、c为常数）,若数列 为等比数列,则 , .
八、 辅助数列法
有些数列本身并不是等差或等比数列,但可以经过适当的变形,构造出一个新的数列为等差或等比数列,从而利用这个数列求其通项公式.
例9.在数列 中, , , ,求 .
解析：在 两边减去 ,得
∴ 是以 为首项,以 为公比的等比数列,
∴ ,由累加法得
=
= … = =
=
例10.（2003年全国高考题）设 为常数,且 （ ）,
证明：对任意n≥1,
证明：设,
用 代入可得
∴ 是公比为 ,首项为 的等比数列,
∴ （ ）,
即：
型如an+1=pan+f(n) (p为常数且p≠0, p≠1)可用转化为等比数列等.
(1)f(n)= q (q为常数),可转化为an+1+k=p(an+k),得{ an+k }是以a1+k为首项,p为公比的等比数列.
例11：已知数 的递推关系为 ,且 求通项 .
∵ ∴
令
则辅助数列 是公比为2的等比数列
∴ 即 ∴
例12： 已知数列｛ ｝中 且 （ ）,求数列的通项公式.
∵
∴ , 设 ,则
故｛ ｝是以 为首项,1为公差的等差数列
∴ ∴
例13.（07全国卷Ⅱ理21）设数列 的首项 ．
（1）求 的通项公式；
（1）由
整理得 ．
又 ,所以 是首项为 ,公比为 的等比数列,得

注：一般地,对递推关系式an+1=pan+q (p、q为常数且,p≠0,p≠1)可等价地改写成
则{ }成等比数列,实际上,这里的 是特征方程x=px+q的根.
(2) f(n)为等比数列,如f(n)= qn (q为常数) ,两边同除以qn,得 ,令bn= ,可转化为bn+1=pbn+q的形式.
例14.已知数列{an}中,a1= , an+1= an+（ ）n+1,求an的通项公式.
an+1= an+（ ）n+1 乘以2n+1 得 2n+1an+1= (2nan)+1 令bn=2nan 则 bn+1= bn+1
易得 bn= 即 2nan=
∴ an=
(3) f(n)为等差数列
例15.已知已知数列{an}中,a1=1,an+1+an=3+2 n,求an的通项公式.
∵ an+1+an=3+2 n,an+2+an+1=3+2(n+1),两式相减得an+2-an=2
因此得,a2n+1=1+2(n-1), a2n=4+2(n-1), ∴ an= .
注：一般地,这类数列是递推数列的重点与难点内容,要理解掌握.
(4) f(n)为非等差数列,非等比数列
例16.（07天津卷理）在数列 中, ,其中 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
由 , ,
可得 ,
所以 为等差数列,其公差为1,首项为0,故 ,所以数列 的通项公式为 ．
这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式.
九、归纳、猜想
如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项,我们可以根据前几项的规律,归纳猜想出数列的通项公式,然后再用数学归纳法证明之.
例17.（2002年北京春季高考）已知点的序列 ,其中 , , 是线段 的中点, 是线段 的中点,…, 是线段 的中点,…
（1） 写出 与 之间的关系式（ ）.
（2） 设 ,计算 ,由此推测 的通项公式,并加以证明.
（3） 略
解析：（1）∵ 是线段 的中点, ∴
（2） ,
= ,
= ,
猜想 ,下面用数学归纳法证明
当n=1时, 显然成立；
假设n=k时命题成立,即
则n=k+1时, =
=
∴ 当n=k+1时命题也成立,∴ 命题对任意 都成立.
例18：在数列｛ ｝中, ,则 的表达式为 .
分析：因为 ,所以得： ,
猜想： .
十、倒数法
数列有形如 的关系,可在等式两边同乘以 先求出
例19．设数列 满足 求
原条件变形为 两边同乘以 得 .
∵
∴
综而言之,等差、等比数列是两类最基本的数列,是数列部分的重点,自然也是高考考查的热点,而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力,这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上；以上介绍的仅是常见可求通项基本方法,同学们应该在学习不断的探索才能灵活的应用.只要大家认真的分析求通项公式并不困难.