证明不等式 （1）当0

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 22:07:46

证明不等式 （1）当0
证明不等式 （1）当0

证明不等式 （1）当0
这两个不等式中,sinx、tanx、2x均在0点处连续可导,而tanx在π/2处没有意义,所以当x趋近于0时,假如令f(x)=sinx+tanx-2x,有f(x)趋近于f(0)
（1）求导,
f(x)=sinx+tanx-2x,有f'(x)=cosx+1/(cosx)^2-2=[(cosx)^3+1-2* (cosx)^2]/(cosx)^2,分母必大于0,所以,只讨论分子的情况,令g(x)=(cosx)^3+1-2* (cosx)^2
g'(x)=-3(cosx)^2*sinx+4cosx*sinx=3cosx*sinx*(-cosx+4/3) 必大于0,因为cosx,sinx值域为(0,1),
所以,g(x)为增函数,(0,π/2)间,由于在0点连续,最小值趋近为g(0)=1^3+1-2=0,所以,g(x)>=0,
所以f'(x)=g(x)/(cosx)^2 >=0,所以f(x)为增函数,最小值为f(x)=f(0)=sin0+tan0-2*0=0
所以,(0,π/2)间 f(x)>0,即sinx+tanx>2x
（2）证明sinx0,y(x)最小值为y(0)=0,所以在(0,π/2)间,r'(x)=y(x)>y(0)=0
所以r(x)为增函数,r(x)>r(0)=0

（1）设0≤x<π/2，所以 0令f(x)=sinx+tanx-2x，0则f'(x)=cosx+1/cos²x -2 ≥cos²x +1/cos²x -2≥2cosx•1/cosx -2=0
所以 f(x)在[0，π/2）上是增函数，
所以当 0

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（1）设0≤x<π/2，所以 0令f(x)=sinx+tanx-2x，0则f'(x)=cosx+1/cos²x -2 ≥cos²x +1/cos²x -2≥2cosx•1/cosx -2=0
所以 f(x)在[0，π/2）上是增函数，
所以当 0f(0)=0，即 sinx+tanx>2x 。
（2）令 h(x)=x-sinx，0≤x<π/2，则h'(x)=1-cosx≥0，
h(x)是[0，π/2）上的增函数，当 0h(0)=0，即 sinx令g(x)=sinx -x+x³/6，0≤x<π/2，则g'(x)=cosx -1+x²/2，g''(x)=-sinx+x≥0
所以 g'(x)在[0，π/2）上是增函数， g'(x)≥g'(0)=1-1+0=0，从而 g(x)在[0，π/2）上的增函数，
当 0g(0)=0，即 sinx >x- x³/6
所以 x- x³/6

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