求解此定积分 高数 (括号里左为下限 右为上限 中括号内为被积函数)∫(0,π/2)〔1/(sinθ+cosθ)〕dθ

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/01 09:38:13

求解此定积分 高数 (括号里左为下限 右为上限 中括号内为被积函数)∫(0,π/2)〔1/(sinθ+cosθ)〕dθ
求解此定积分 高数
(括号里左为下限 右为上限 中括号内为被积函数)
∫(0,π/2)〔1/(sinθ+cosθ)〕dθ

求解此定积分 高数 (括号里左为下限 右为上限 中括号内为被积函数)∫(0,π/2)〔1/(sinθ+cosθ)〕dθ
(0,π/2)∫dθ/(sinθ+cosθ)
=(0,π/2)∫dθ/[√2sin(θ+π/4)]
=(0,π/2)∫√2/2*csc(θ+π/4)dθ
换元θ+π/4=x
=√2/2*(π/4,3π/4)∫cscxdx
又cscx在(π/4,3π/4)上连续
=√2/2*(π/4,3π/4)ln|cscx-cotx|
=√2/2*ln|(√2+1)/(√2-1)|
=√2/2*ln(√2+1)^2=√2ln(√2+1)