作业帮求四次方程的求根公式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 06:58:34
求四次方程的求根公式
求四次方程的求根公式
求四次方程的求根公式
寻找三次方程的求根公式,经历了二千多年的漫长岁月,直到十六世纪欧洲文艺复兴时期,才由几个意大利数学家找到,这就是通常据说的卡丹（Cardan,1501——1576）公式
在三次方程的求解问题解决后不久,卡丹的仆人和学生费拉里又得到了四次方程的求解方法.其主要思路是：对于四次方程 （2）引入参数t ,经配方化为 （3）容易验证（2）与（3）是一样的.为了保证（3）式右边是完全平方,可令它的判别式为0：即选择t是三次方程的任一根.把这个根作为（3）中的t值就有把右边移到左边并分解因式得到两个二次方程这样,就把求四次方程的根化为求一个三次方程和两个二次方程的根,因此认为四次方程的求解问题也解决了.既然有了这个突破,数学家们就以极大的兴趣和自信致力于寻找五次方程的求解方法.他们发现,对次数不超过四的方程,都能得到根的计算公式,每个根都可用原方程的系数经过加减乘除和开方运算表出.我们把这件事简称为可用根号求解,
你在网上搜“卡尔丹公式”,就会得到想要的相关知识了.
四次方程都是先化成三次方程,再利用三次方程的公式来做的.当然也可以直接把四次方程的根用系数写成公式,但很长,有兴趣的话可以下载Mathematica软件,输入命令
Solve[ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e == 0]
即可求得解.(太长,这里就不写了)
将一般四次方程 ax4+bx3+cx2+dx+e=0
每项除a，得到：
x4+(b/a)x3+(c/a)x2+(d/a)x+(e/a)=0
移项，得到：
x4+(b/a)x3=-(c/a)x2-(d/a)x-(e/a)
在等式两端同时加上(bx/2a)2，进行配方。
(x^2+(bx)/(2a))^2=(b/(4a)-c)^2*x^2-dx-e
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将一般四次方程 ax4+bx3+cx2+dx+e=0
每项除a，得到：
x4+(b/a)x3+(c/a)x2+(d/a)x+(e/a)=0
移项，得到：
x4+(b/a)x3=-(c/a)x2-(d/a)x-(e/a)
在等式两端同时加上(bx/2a)2，进行配方。
(x^2+(bx)/(2a))^2=(b/(4a)-c)^2*x^2-dx-e
再在该式加上 (x^2+(bx)/(2a))*y+(y^2/4) (y是一个待定变量)
(x^2+bx/2+y/2)^2=(b^2/4a-c+y)*x^2+((by)/2-d)x+(y^2/4-e)
上式右端是一个关于x的二次三项式。适当选择y，使这个二次三项式也能写成完全平方式。只要y能满足下面的等式：
((by)/2-d)^2-4(b/(4a)-c+y)(y/4-e)=0
就可以，这是一个关于y的三次方程。
这样，四次方程的问题归为解一个三次方程和两个二次方程的问题。
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