作业帮在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且b²=ac,sinA·sinC=3/4.求证：△ABC等腰三角形.求证△ABC是等边三角形。打错了
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 18:36:47
在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且b²=ac,sinA·sinC=3/4.求证：△ABC等腰三角形.求证△ABC是等边三角形。打错了
在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且b²=ac,sinA·sinC=3/4.求证：△ABC等腰三角形.
求证△ABC是等边三角形。打错了
在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且b²=ac,sinA·sinC=3/4.求证：△ABC等腰三角形.求证△ABC是等边三角形。打错了
∵b²=ac
根据正弦定理
∴sin²B=sinAsinC
∵sinA·sinC=3/4
∴sin²B=3/4
∵ sinB>0 ∴sinB=√3/2
∴B=π/3,或B=2π/3
若B=2π/3
A=π-2π/3-C=π/3-C
∵sinA·sinC=3/4
sin(π/3-C)sinC=3/4
(√3/2*cosC-1/2sinC)sinC=3/4
∴√3/2*sinCcosC-1/2*sin²C=3/4
√3/4*sin2C-1/4(1-cos2C=3/4
∴√3/4*sin2C+1/4*cos2C=1
∴√3/2*sin2C+1/2cos2C=2
∴cos(2C+π/6)=2
矛盾
若B=π/3,A=π-π/3-C=2π/3-C
∵sinA·sinC=3/4
sin(2π/3-C)sinC=3/4
(√3/2*cosC+1/2sinC)sinC=3/4
∴√3/2*sinCcosC+1/2*sin²C=3/4
1/4(1-cos2C)+√3/4*sin2C=3/4
∴-1/4*cos2C+√3/4*sin2C=1/2
∴√3/2*sin2C-1/2cos2C=1
∴sin(2C-π/6)=1
∵2C-π/6∈(-π/6,7π/6)
∴2C-π/6=π/2
∴C=π/3,A=π/3
∴A=B=C
∴△ABC是等边三角形
证明：
【1】
由余弦定理及题设可得：
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)
=(a²+c²-ac)/(2ac).
={[a-(c/2)]²+(3c²/4)}/(2ac)＞0.
B为锐角。
由正弦定理及题设可得：
sin²B=sinAsinC=3/4...
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证明：
【1】
由余弦定理及题设可得：
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)
=(a²+c²-ac)/(2ac).
={[a-(c/2)]²+(3c²/4)}/(2ac)＞0.
B为锐角。
由正弦定理及题设可得：
sin²B=sinAsinC=3/4
∴sinB=(√3)/2.
结合B为锐角，可知：B=60².
【2】
由题设及余弦定理，可得：
1/2=cos60º=cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=(a²+c²-ac)/(2ac)
∴ac=a²+c²-ac
∴(a-c)²=0
∴a=c
【3】
由B=60º及a=c可知
⊿ABC为等边三角形。
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