作业帮在△ABC所在平面内求一点P,使AP*2+BP*2+CP*2最小.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 04:32:08
在△ABC所在平面内求一点P,使AP*2+BP*2+CP*2最小.
在△ABC所在平面内求一点P,使AP*2+BP*2+CP*2最小.
在△ABC所在平面内求一点P,使AP*2+BP*2+CP*2最小.
2（AP*2+BP*2+CP*2）=[|AP|^2+|BP|^2]+[|AP|^2+|CP|^2]+]+[|CP|^2+|BP|^2]>=2(|AP|+|BP|+|CP|),当且仅当|AP|=|BP|=|CP| 时取等号
当P时为△ABC外心时AP*2+BP*2+CP*2最小.
建立函数模型，求最小值。AP*2+BP*2+CP*2是一个二次函数
用坐标方法
以BC中点O为原点，BC所在直线为X轴，过BC中点垂直BC的直线为Y轴
设B(-m,0) c(m,0) A(a,b) P(x,y)
AP*2+BP*2+CP*2=(x-a)2+(y-b)2+(x+m)2+y2+(x-m)2+y2
=3x2+3y2-2ax-2by+a2+b2+2m2
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用坐标方法
以BC中点O为原点，BC所在直线为X轴，过BC中点垂直BC的直线为Y轴
设B(-m,0) c(m,0) A(a,b) P(x,y)
AP*2+BP*2+CP*2=(x-a)2+(y-b)2+(x+m)2+y2+(x-m)2+y2
=3x2+3y2-2ax-2by+a2+b2+2m2
=3(x-a/3)2+3(y-b/3)2+2a2/3+2b2/3+2m2
当x=a/3,y=b/3时，AP*2+BP*2+CP*2最小值=2a2/3+2b2/3+2m2
即P在中线OA的1/3处，同理AB边中线1/3处，AC边中线1/3处
所以点P在⊿ABC的重心处
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