作业帮已知点O为△ABC内一点,满足2OA向量+3OB向量+5OC向量=0向量,记△ABC的面积为S,△BOC的面积为S1,且S1=xS,则x的值为?看清楚问题……是5OC
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 07:47:50
已知点O为△ABC内一点,满足2OA向量+3OB向量+5OC向量=0向量,记△ABC的面积为S,△BOC的面积为S1,且S1=xS,则x的值为?看清楚问题……是5OC
已知点O为△ABC内一点,满足2OA向量+3OB向量+5OC向量=0向量,记△ABC的面积为S,△BOC的面积为S1,且S1=xS,则x的值为?
看清楚问题……是5OC
已知点O为△ABC内一点,满足2OA向量+3OB向量+5OC向量=0向量,记△ABC的面积为S,△BOC的面积为S1,且S1=xS,则x的值为?看清楚问题……是5OC
解由2OA向量+3OB向量+5OC向量=0得
(3/2)OB向量+(5/2)OC向量=-OA向量
延长OB到B′,延长OC到C′,使得OB′=(3/2)OB,OC′=(5/2)OC,
以OB′与OC′为一对邻边做平行四边形OB′A′C′,则
向量OB′+向量OC′=向量OA′(向量的平行四边形法则)
即 (3/2)OB向量+(5/2)OC向量=向量OA′
故向量OA′=-OA向量,｜OA｜=｜OA′｜,且A,O, A′三点在一条直线上,由OB′=(3/2)OB,OC′=(5/2)OC可得
｜OB｜=(2/3)｜OB′｜,｜OC｜=(2/5)｜OC′｜,
故△BOC的面积=2/3×2/5×△B′O C′的面积=4/15△B′O C′的面积,
即 △BOC的面积=4/15△B′O C′的面积 (1)
由于｜OA｜=｜OA′｜,O是AA′的中点,故得
△AOC′的面积=△A′OC′的面积
由｜OC｜=(2/5)｜OC′｜得
△AOC的面积=2/5△AOC′的面积=2/5△A′OC′的面积
即 △AOC的面积=2/5△A′OC′的面积 (2)
同理 △AOB的面积=2/3△A′OB′的面积 (3)
由于 △B′O C′的面积=△A′OC′的面积=△A′OB′的面积
均等于平行四边形OB′A′C′面积的一半,故由(1)(2)(3)得
△ABC的面积=△BOC的面积+△AOC的面积+△AOB的面积
=4/15△B′O C′的面积+2/5△A′OC′的面积+2/3△A′OB′的面积
=4/3△A′OB′的面积
△ABC的面积=4/3△A′OB′的面积 (4)
(1)/(4)得 △BOC的面积/△ABC的面积=(4/15)/(4/3)=1/5
即 S1=△BOC的面积=(1/5)S,x=1/5.
