作业帮x≥0,y≥0,且4x+y+xy=5 (1)求4x+y的最小值 (2)求x+y的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 05:45:48
x≥0,y≥0,且4x+y+xy=5 (1)求4x+y的最小值 (2)求x+y的最小值
x≥0,y≥0,且4x+y+xy=5 (1)求4x+y的最小值 (2)求x+y的最小值
x≥0,y≥0,且4x+y+xy=5 (1)求4x+y的最小值 (2)求x+y的最小值
(1)令4x+y=a
xy=5-a
4xy=20-4a
所以
由韦达定理,4x,y是二次方程
t^2-at+(20-4a)=0
的两个非负根
所以a>=0,20-4a>=0
0=0
(a+20)(a-4)>=0
a>=4 或者 a=1
f(0)=5-a
f(a)=5-4a
1.[0,a]上只有一个根,所以由零点定理
f(0)f(a)=(5-a)(5-4a)
(1)令4x+y=a
xy=5-a
4xy=20-4a
所以
由韦达定理，4x,y是二次方程
t^2-at+(20-4a)=0
的两个非负根
所以a>=0,20-4a>=0
0<=a<=5
且Δ=a^2-4(20-4a)>=0
a^2+16a-80>=0
(a+20)(a-4)>=0
a>=4 或者 a...
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(1)令4x+y=a
xy=5-a
4xy=20-4a
所以
由韦达定理，4x,y是二次方程
t^2-at+(20-4a)=0
的两个非负根
所以a>=0,20-4a>=0
0<=a<=5
且Δ=a^2-4(20-4a)>=0
a^2+16a-80>=0
(a+20)(a-4)>=0
a>=4 或者 a<=-20
结合0<=a<=5
得到4<=a<=5
即4x+y最小值为4,此时方程为t^2-4t+4=0
4x=y=t=2
即x=1/2,y=2
(2)令x+y=a
y=a-x
4x+y+xy=5
4x+a-x+x(a-x)=5
x^2-(a+3)x+(5-a)=0
至少有一个根在[0,a]上
Δ=(a+3)^2-4(5-a)>=0
a^2+10a-11>=0
(a-1)(a+10)>=0
a>=1或者a<=-10
显然a>=0
所以a>=1
f(0)=5-a
f(a)=5-4a
1.[0,a]上只有一个根，所以由零点定理
f(0)f(a)=(5-a)(5-4a)<0
即5/4<=a<=5
2.[0,a]上有两个根
所以x1x2=5-a
0<=5-a<=a^2
x1+x2=a+3
0<=a+3<=2a
5>=a>=3
结合之，发现5/4很有希望
若a=5/4
则x的方程变为
x^2-(17/4)x+15/4=0
x=5/4,3(舍去)
y=0
所以x+y最小=5/4
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