作业帮求解高中数学函数.导数问题.已知函数f(x)=a·x^3+b·x^2+c·x在点x处取得极小值-4,使其导函数f'(x)>0的x的取值范围为(1,3).(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值.(2)当x€[2,3]时,求g(x)=f'(x)+6(m-2)x的最大值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 17:50:59
求解高中数学函数.导数问题.已知函数f(x)=a·x^3+b·x^2+c·x在点x处取得极小值-4,使其导函数f'(x)>0的x的取值范围为(1,3).(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值.(2)当x€[2,3]时,求g(x)=f'(x)+6(m-2)x的最大值.
求解高中数学函数.导数问题.
已知函数f(x)=a·x^3+b·x^2+c·x在点x处取得极小值-4,使其导函数f'(x)>0的x的取值范围为(1,3).
(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值.
(2)当x€[2,3]时,求g(x)=f'(x)+6(m-2)x的最大值. 求详细过程.
求解高中数学函数.导数问题.已知函数f(x)=a·x^3+b·x^2+c·x在点x处取得极小值-4,使其导函数f'(x)>0的x的取值范围为(1,3).(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值.(2)当x€[2,3]时,求g(x)=f'(x)+6(m-2)x的最大值.
f(x)=ax^3+bx^2+cx在点x0处取得极小值-4；
有：f'(x0)=0,即：3a*x0^2+2b*x0+c=0.（方程1）
且有：f(x0)=a*x0^3+b*x0^2+c*x0=-4（方程2）
求导：
f'(x)=3a*x^2+2b*x+c 有两根x1=1,x2=3.
且抛物线开口向下,即a0.即x0=1.结合抛物线的性质知道x0=1.
带入方程2知道 a=-1.所以 b=6,c=-9
f(x)=-x^3+6x^2-9x
由此可得：g(x)=3aX^2+2bX+C+6X（m-2)=-3x^2+6mX-9；
进行配方可得到：g(x)=-3(X-m)^2+3m^2-9；
故可知道当X=m；的时候可以取得最大值：3m^2-9；
而条件：X∈[2;3]；这个范围内：
要分析三种情况：
第一种：当2≤m≤3的时候：最大值G（m）=3m^2-9；
第二种：当m＜2；最大值：G（2）=12m-21；
第三种情况：m>3；最大值：G(3)=18m-36；
因为f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
所以f'(x) 是一条抛物线
但使导函数f'(x)>0的x的取值范围是(1,3)
得知 抛物线开口向下。即a < 0
f'(1) = 0
f'(3) = 0
所以3a + 2b + c = 0
27a + 6b + c = 0
又函数f(x)=ax^3+bx^2+cx点x处取得...
全部展开
因为f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
所以f'(x) 是一条抛物线
但使导函数f'(x)>0的x的取值范围是(1,3)
得知 抛物线开口向下。即a < 0
f'(1) = 0
f'(3) = 0
所以3a + 2b + c = 0
27a + 6b + c = 0
又函数f(x)=ax^3+bx^2+cx点x处取得极小值-4
此时 f(x) = 0
因此 有2种可能，或者是在 x= 1 处，或者是在 x = 3 处
即
a + b + c = -4
或者
27a + 9b + c = -4
联立出2个三元一次方程组
3a + 2b + c = 0
27a + 6b + c = 0
a + b + c = -4
或
3a + 2b + c = 0
27a + 6b + c = 0
9a + 3b + c = -4/3
解第一个方程组，推出
a = -1
b = 6
c = -9
而第二个方程组无解
因此
f(x) = -x^3 + 6x^2 - 9x = -x (x-3)^2
收起