作业帮泰勒级数,马克劳林级数收敛问题1.教材上说道：f(x)可展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的拉格朗日余项在当n->∞的极限为零.如果存在一个泰勒级数,那么这个泰勒级数在某一数的
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 14:50:33
泰勒级数,马克劳林级数收敛问题1.教材上说道：f(x)可展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的拉格朗日余项在当n->∞的极限为零.如果存在一个泰勒级数,那么这个泰勒级数在某一数的
泰勒级数,马克劳林级数收敛问题
1.教材上说道：
f(x)可展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的拉格朗日余项在当n->∞的极限为零.如果存在一个泰勒级数,那么这个泰勒级数在某一数的邻域内一定收敛于这个函数f(x)吗?
2.教材里还有一段：
“f(x)的麦克劳林级数在点x0的某邻域内收敛,它却不一定收敛于f(x).因此f(x)在x0=0处具有各阶导数,则f(x)虽能做出来,但这个级数是否能在某个区间内收敛,以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察.”f(x)的麦克劳林级数在x0=0邻域内收敛,那么不就是说明级数收敛于以x0为心,ε为半径的区间上的函数s(x)吗,s(x)不一定为f(x)吗?
3.只有f(x)先能展开成泰勒级数,才有麦克劳林级数的展开,并收敛于在x0=0的邻域各阶导数存在的f(x).
泰勒级数,马克劳林级数收敛问题1.教材上说道：f(x)可展开成泰勒级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的拉格朗日余项在当n->∞的极限为零.如果存在一个泰勒级数,那么这个泰勒级数在某一数的
1.如果存在一个泰勒级数,那么这个泰勒级数在某一数的邻域内一定收敛于这个函数f(x)吗?
答：不一定.事实是,如果由一个f(x),得到了它所对应的泰勒级数,而且,这个泰勒级数是收敛的,在这种情况下,并不能保证这个泰勒级数一定收敛于这个函数f(x).换句话理解,就是,这个收敛的泰勒级数的和函数有可能是另一个不同于f(x)的s(x).那么,保证这个收敛的泰勒级数收敛于这个函数f(x),即,以f(x)为其和函数所需要的充要条件,就是“f(x)的泰勒公式中的拉格朗日余项在当n->∞的极限为零”.我们把,这个泰勒级数收敛,并且收敛于这个函数f(x),叫做“f(x)可展开成泰勒级数”.注意这就是“可展开成”的含义.
2.答：如果f(x)在x0=0处具有各阶导数,那么,可以作出f(x)所对应的麦克劳林级数,仅此而已.至于“该级数是否能在某个区间内收敛,以及是否收敛于f(x),却需要进一步考察.”再进一步说,即使该级数收敛于函数s(x),s(x)也不一定就是f(x),此同问题1.
3“只有f(x)先能展开成泰勒级数,才有麦克劳林级数的展开,并收敛于在x0=0的邻域各阶导数存在的f(x)”这句话有误.
一是展开成泰勒级数,或者麦克劳林级数,并没有先后之关系.所谓泰勒级数,是对于一般性的x0讨论的；而麦克劳林级数,是当x0=0时的情况.所以,麦克劳林级数是泰勒级数的特例而已.例如对于泰勒级数的x0,可以考虑取x0=4,等等.
二是对于“并收敛于在x0=0的邻域各阶导数存在的f(x)”这句话,同问题2与1的解答,即,作出f(x)所对应的级数；该级数是否收敛；是否收敛于f(x),这是3件事.