作业帮一道数学题（函数与方程问题）设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a (1)求f(x)的极值.(2)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 00:32:42
一道数学题（函数与方程问题）设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a (1)求f(x)的极值.(2)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.
一道数学题（函数与方程问题）
设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a (1)求f(x)的极值.(2)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.
一道数学题（函数与方程问题）设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a (1)求f(x)的极值.(2)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.
求导数
f'(x) = 3x^2 - 2x - 1 = (3x + 1) (x -1)
当 x = -1/3 和 x = 1 时,
f'(x) = 0
而在 x < -1/3 和 x > 1 时,f'(x) > 0 ,因此 f(x) 单调递增
而在 -1/3 < x < 1 时 f'(x) < 0 ,因此 f(x) 单调递减
f(-1/3) = (-1/3)^3 - (-1/3)^2 - (-1/3) + a = 5/27 + a
f(1) = 1 - 1 - 1 + a = a -1
因此 在
x = -1/3 时 f(x)取极大值 5/27 + a
x = 1 时,f(x) 取极小值 a-1
结合函数图象,可以判断出 当以下2个条件之1 满足时,f(x)与 x 轴只有一个交点
1) 极大值 f(-1/3) 小于0.这样 当 x > 1 时,随x增加,会出现交点
2）及小值 f(1) > 0 .这样 当 x < -1/3 时,随x减小,会出现交点
f(-1/3) = 5/27 + a < 0 ,所以 a < -5/27
f(1) = a - 1 > 0 ,所以 a > 1
因此 当 a < -5/27 或者 a > 1 时,f(x) 与 x 轴只有一个交点