lim(n趋于正无穷)∑(下面k=1,上面n)(k/n^3)√(n^2-k^2),此题利用定积分求极限,

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 05:48:36

lim(n趋于正无穷)∑(下面k=1,上面n)(k/n^3)√(n^2-k^2),此题利用定积分求极限,
lim(n趋于正无穷)∑(下面k=1,上面n)(k/n^3)√(n^2-k^2),此题利用定积分求极限,

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原式=lim(n→∞)∑1/n*k/n*1/n*n√(1-(k/n)^2)
=lim(n→∞)∑1/n*[k/n*√(1-(k/n)^2)]
=∫(0→1)x√(1-x^2)dx (区间[0,1]的分点是k/n)
=∫(0→π/2)sint*cost*costdt (令x=sint)
=-∫(0→π/2)cos^2(t)d(cost)
=-cos^3(t)/3|(0→π/2)
=1/3