作业帮如图,在平行四边形ABCD中,角BAD,角ABC的平分线AF,BG与CD两侧的延长线分别相交与F,G,AF与BG相交与E（1）在图①中,求证AF⊥BG,DF=CG（2）在图②中,仍有（1）中的结论,若AB=10,AD=6,BG=4,求FG和AF的长
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 10:20:13
如图,在平行四边形ABCD中,角BAD,角ABC的平分线AF,BG与CD两侧的延长线分别相交与F,G,AF与BG相交与E（1）在图①中,求证AF⊥BG,DF=CG（2）在图②中,仍有（1）中的结论,若AB=10,AD=6,BG=4,求FG和AF的长
如图,在平行四边形ABCD中,角BAD,角ABC的平分线AF,BG与CD两侧的延长线分别相交与F,G,AF与BG相交与E
（1）在图①中,求证AF⊥BG,DF=CG
（2）在图②中,仍有（1）中的结论,若AB=10,AD=6,BG=4,求FG和AF的长
如图,在平行四边形ABCD中,角BAD,角ABC的平分线AF,BG与CD两侧的延长线分别相交与F,G,AF与BG相交与E（1）在图①中,求证AF⊥BG,DF=CG（2）在图②中,仍有（1）中的结论,若AB=10,AD=6,BG=4,求FG和AF的长
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（1）证明：如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
又AF、BG是∠BAD与∠ABC的角平分线，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴AF⊥BG．
∵AD∥BC，∴∠AMB=∠CBG，
又BG是∠ABC的角平分线，
∴∠ABG=∠CBG，
∴AB=AM，
又AB∥DC，
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（1）证明：如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
又AF、BG是∠BAD与∠ABC的角平分线，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴AF⊥BG．
∵AD∥BC，∴∠AMB=∠CBG，
又BG是∠ABC的角平分线，
∴∠ABG=∠CBG，
∴AB=AM，
又AB∥DC，
∴∠ABM=∠G，又∠AMB=∠GMD，
∴∠G=∠GMD，
∴DM=DG，即△GDM为等腰三角形，
同理可得△NCF为等腰三角形；
∵DF-CD=CG-CD，即DF=CG
（2）①由已知可得，AF、BG仍是∠BAD与∠ABC的角平分线，且CF=GD，
∴FD=AD=6，
∴CF=10-6=4=GD，
∴FG=FD-GD=6-4=2．
可得，Rt△EFG∽Rt△EAB，
∴
EG
BE
=
FG
AB
=
2
10
，
∵BG=4，
∴GE=2/3
，BE=10/3
，
则在直角三角形EFG中，根据勾股定理得：EF=根号里 FG2-EG2 =4根号2 /3
，
在直角三角形ABE中，根据勾股定理得：AE=根号里AB2-BE2 =20根号2 / 3
，
勾股定理可得AF=EF+AE=8根号2
②AB=2AD，∠A=90°．
若使点E恰好落在CD边上且△ABE为等腰三角形，
∵AF、BG是∠BAD与∠ABC的角平分线，
∴只能使其角为直角，即∠A=90°，
而由（1）、（2）可得，边长则需满足1：2的关系，即AB=2AD．
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