如图四棱锥p-ABCD中,底面ABCD,是矩形,PA⊥底面ABCD,PA= AB=√2,点E是棱PB的 中点,证明PB⊥平面PBC是证AE⊥平面PBC,上面打错了,请教此题用向量的方法如何解答。谢谢老师。

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 04:39:49

如图四棱锥p-ABCD中,底面ABCD,是矩形,PA⊥底面ABCD,PA= AB=√2,点E是棱PB的 中点,证明PB⊥平面PBC是证AE⊥平面PBC,上面打错了,请教此题用向量的方法如何解答。谢谢老师。
如图四棱锥p-ABCD中,底面ABCD,是矩形,PA⊥底面ABCD,PA= AB=√2,点E是棱PB的 中点,证明PB⊥平面PBC
是证AE⊥平面PBC,上面打错了,请教此题用向量的方法如何解答。谢谢老师。

如图四棱锥p-ABCD中,底面ABCD,是矩形,PA⊥底面ABCD,PA= AB=√2,点E是棱PB的 中点,证明PB⊥平面PBC是证AE⊥平面PBC,上面打错了,请教此题用向量的方法如何解答。谢谢老师。
方法一：
∵PA⊥平面ABCD,∴BC⊥PA.
∵ABCD是矩形,∴BC⊥AB.
由BC⊥PA、BC⊥AB、PA∩AB＝A,得：BC⊥平面PAB,而AE在平面PAB上,∴AE⊥BC.
∵PA＝AB、PE＝BE,∴AE⊥PB.
由AE⊥BC、AE⊥PB、BC∩PB＝B,得：AE⊥平面PBC.
方法二：向量证法［这种方法比上面的方法的书写量要多一些］
∵PA⊥平面ABCD,∴向量AP⊥向量BC,向量AP⊥向量AB,
∴向量AP·向量BC＝0,向量AP·向量AB＝0.
又ABCD是正方形,∴向量AB⊥向量BC,∴向量AB·向量BC＝0.
过E作EF∥BA交PA于F,作EG∥PA交AB于G.
∵PE＝BE,∴AF＝AP/2,AG＝AB/2.
由平行四边形法则,有：向量AE＝向量AF＋向量AG＝（1/2）向量AP＋（1/2）向量AB.
又向量PB＝向量AB－向量AP.
∴向量AE·向量PB
＝（1/2）向量AP·向量AB－（1/2）｜AP｜^2＋（1/2）｜AB｜^2－（1/2）向量AB·向量AP
＝（1/2）（｜AP｜^2－｜AB｜^2）
而AP＝AB,∴向量AE·向量PB＝0,∴AE⊥PB.
向量AE·向量BC＝（1/2）AP·向量BC＋（1/2）向量AB·向量BC＝0＋0＝0,∴AE⊥BC.
由AE⊥PB、AE⊥BC、PB∩BC＝B,得：AE⊥平面PBC.

如图四棱锥P-abcd中,底面abcd是正方形,侧棱pd ⊥底面abcd,pd=dc,e是pc的中点,求de⊥平面pbc 如图在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是菱形, 见图.在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是正方形 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,证明:PA//平面EDB 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形… 在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,则四棱锥P-ABCD的体积为 棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD中投影恰好是A,则四棱锥P-ABCD体积为三视图在这里 如图四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA垂直平面ABCD,E是PD中点,1证明PB平行平面AEC, 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥平面ABCD,AB=根号3 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,指出哪些三角形是直角三角形? 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且PA⊥平面ABCD.那么这个四棱锥中是有4个直角三角形,如何证明 如图四棱锥P_ABCD中,底面ABCD为平行四边形,PG垂直平面ABCD 如图在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中 求解如何求体积 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E是PC的中点.求证：PA//平面BDE. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,四条侧棱长都相等求证:平面PAC垂直平面PBCD 如图5,四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为平行四边形,角DAB＝60°,AB＝2AD＝2,PD＝根号3,PD⊥底面ABCD.求四棱锥P－ABCD的面积. 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形、面PAD⊥面ABCD,PA=PD,E为AD的中点,求证：PE垂直面ABCD 在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,F是PB的中点, 求证:DF⊥AP;