高数微积分初学者:0*无穷型的极限求法为什么参考书上说这里的0可以用等价无穷小代换

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/05 19:25:43

高数微积分初学者:0*无穷型的极限求法为什么参考书上说这里的0可以用等价无穷小代换
高数微积分初学者:0*无穷型的极限求法
为什么参考书上说这里的0可以用等价无穷小代换

高数微积分初学者:0*无穷型的极限求法为什么参考书上说这里的0可以用等价无穷小代换
对于:求 0*无穷型的极限的问题
例如:求极限lim(x-0)x/arctanx
lim(x-0)x/arctanx=lim(x-0)x *(1/arctanx)是一个0*无穷型的极限的问题
因为(x-0)时,x与arctanx是等价无穷小,
所以:lim(x-0)x *(1/arctanx)=lim(x-0)(arctanx)*(1/arctanx)= 1
说明:(1)对于 0*无穷型的极限,这里的零并不是大小为零,而是某个极限为零的情况:lim(x-0)x=0.
(2)关于“等价”无穷小:sinx与x,arctanx与x是等价无穷小,1+cosx与x^2/2是等价无穷下,
e^x-1与x是等价无穷下,题目不同用于代换的等价无穷小也不同
上题中:就只能选用arctanx与x是等价无穷小,如果选sinx与x等价无穷小,问题会变复杂.

一般作法是化为0/0或∞/∞,用洛必达法则。
因为这里的函数是乘积的结构,所以其中的无穷小可以用等价的无穷小替换