作业帮关于高等数学里积分第一中值定理的证明题目和答案的证明如下图.但是我在证明的时候用的不是这个方法,我的方法是：设G(x)为g(x)的原函数,t=G(x),则x=G^-1(t).∫(a→b)f(x)g(x)dx = ∫(a→b)f(x)d（G(x)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 05:00:35
关于高等数学里积分第一中值定理的证明题目和答案的证明如下图.但是我在证明的时候用的不是这个方法,我的方法是：设G(x)为g(x)的原函数,t=G(x),则x=G^-1(t).∫(a→b)f(x)g(x)dx = ∫(a→b)f(x)d（G(x)
关于高等数学里积分第一中值定理的证明
题目和答案的证明如下图.
但是我在证明的时候用的不是这个方法,我的方法是：
设G(x)为g(x)的原函数,t=G(x),则x=G^-1(t).
∫(a→b)f(x)g(x)dx = ∫(a→b)f(x)d（G(x)） = ∫（G(a)→G(b)）f（G^-1(t)）dt
则存在常数ε∈[G(a),G(b)]使t=ε时有
∫（G(a)→G(b)）f（G^-1(t)）dt = f（G^-1(ε)）*（G(b)-G(a)）
即 ∫(a→b)f(x)g(x)dx = f（G^-1(ε)）*∫(a→b)g(x)dx
∴存在当x=G^-1(ε)时原式成立.
但“g 在[a,b]上不变号”这个条件我根本没有用到...如果我的方法是对的,岂不是积分第一中值定理的适用范围就扩展了?
我没找出自己有哪里不对,也不知道是不是我已经在某一步用过这个条件了而我没意识到.
所以希望能有高人来帮我看下,我的方法是否正确?如果不正确,错在哪里?
一楼,你复制另一个知道问题的答案给我有意思伐?我解法跟那人根本不一样,你懂高数吗?不懂别瞎参合!
关于高等数学里积分第一中值定理的证明题目和答案的证明如下图.但是我在证明的时候用的不是这个方法,我的方法是：设G(x)为g(x)的原函数,t=G(x),则x=G^-1(t).∫(a→b)f(x)g(x)dx = ∫(a→b)f(x)d（G(x)
错误其实很简单,就是你在第二行变量替换的时候,你得保证G(x)是单值函数.所以你直接写那么个区间是有问题的.或者说 你默认了G（x）是单值函数
比如∫(-1→1)x^2 *f（x）dx,在这里g(x)=x^2 你要是直接把x^2弄成t 那积分区间就变成 (1→1) 自然就出错了.
所以如果你假定G(x)是个单值函数 不考虑间断点情况下,因为它单调 那么反函数自然存在,你可以接着往下讨论