柯西积分公式一般形式的证明

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 20:39:55

柯西积分公式一般形式的证明
柯西积分公式一般形式的证明

柯西积分公式一般形式的证明
有没学过复合闭路定理?与那个定理的证明完全类似.见图：

证明：做辅助线L1,L2,...,Lk,L将大圈与小圈连接.观察下面两条曲线：Γ1：从B出发,沿大圈上半部分到A,然后L1,然后C1的上半部分,然后L2,然后C2的上半部分,.,Ck的上半部分,然后L,回到B,在这条闭曲线内,f(z)解析.Γ2：从A出发,沿大圈下半部分到B,然后L,然后Ck的下半部分,.,然后C1的下半部分,然后L1,回到A,在这条闭曲线内,f(z)解析.由于z0在C内,不妨设,z0在Γ1内,则f(z0)=∮f(z)/(z-z0) dz 积分曲线为Γ1此时由于f(z)/(z-z0)在Γ2内无奇点,则f(z)/(z-z0)在Γ2上的积分为0因此 f(z0)=∮f(z)/(z-z0) dz 积分曲线为Γ1+Γ2下面观察Γ1+Γ2,可以看出 Γ1+Γ2=C+C1⁻+C2⁻+...+Ck⁻,（因为所有的L正好抵消了,而所有的小圈走的是顺时针,大圈走的是逆时针）.因此：f(z0)=∮f(z)/(z-z0) dz 积分曲线为C+C1⁻+C2⁻+...+Ck⁻即：f(z0)=∮C f(z)/(z-z0) dz - Σ∮Ci f(z)/(z-z0) dz i=1到k

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