作业帮如何证明cauchy数列是有界数列
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 07:28:44
如何证明cauchy数列是有界数列
如何证明cauchy数列是有界数列
如何证明cauchy数列是有界数列
由实数定理可知柯西数列收敛
因为收敛数列必有界
显然可得柯西数列有界
不妨设数列单调增，因为有上界所以有上确界，设为A.则an<=A（an单调增）。对任意的§>0,存在aN>A-§,则由an单调增知，对任意的n,m>N，有A>an
不妨取ξ=1，则存在N，当n>N,m=N+1时有│xn-x(N+1)│<1
所以│xn│=│[xn-x(N+1)]+x(N+1)│<=│xn-x(N+1)│+│x(N+1)│<│x(N+1)│+1
令M=max{│x1│,│x2│,……,│xN│，│x(N+1)│+1}，则│xn│≤M对n=1,2,……恒成立。
证毕！