作业帮已知数列an满足a1=2,an+1=2an-n+1,证明(an-n)是等比数列,并求出(an)通项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 17:38:48
已知数列an满足a1=2,an+1=2an-n+1,证明(an-n)是等比数列,并求出(an)通项公式
已知数列an满足a1=2,an+1=2an-n+1,证明(an-n)是等比数列,并求出(an)通项公式
已知数列an满足a1=2,an+1=2an-n+1,证明(an-n)是等比数列,并求出(an)通项公式
a(n+1)=2an-n+1
a(n+1)=2an - 2n + (n+1)
a(n+1) - (n+1)= 2(an-n)
∴{an-n}是公比为2,首项为2-1=1的等比数列
an-n=1×2^(n-1)=2^(n-1)
an=2^(n-1) + n
两边同时减去（n+1）
an+1-(n+1)=2an-n+1-(n+1)
即an+1-(n+1)=2an-2n=2(an-n)
所以数列{an-n}是以a1-1=1为首项，以2为公比的等比数列
an-n=-(1-2^n)=2^n-1
an=2^n+n-1
an+1=2an-n+1,an+1-(n+1)=2（an-n），那么（an-n）是等比数列，
（an-n）/（an-1-（n-1）=2
~~~~~（a2-2）/a1-1=2
推出（an-n）/a1-1=2^n-1
an=2^(n-1)+n
a(n+1)=2an-n+1
a(n+1)-(n+1)=2an-2n=2(an-n)
令bn=an-n
b(n+1)=a(n+1)-(n+1)
b(n+1)/bn=2
(an-n)是以a1-1=1为首项，2为公比的等比数列
an-n=(a1-1)*q^(n-1)
an-n=2^(n-1)
an=2^(n-1)+n
a(n+1)=2an-n+1
所以 a(n+1)-n-1=2an-n+1-n-1
a(n+1)-(n+1)=2an-2n
所以a(n+1)-(n+1)/(an-n)=2
所以an-n是以1为首项，2为公比的等比数列。
所以{an-n}=1*2^（n-1）=2^（n-1）
所以 an=2^（n-1）+n
注a(n+1) 括号中为角标。
An+1=2An-n+1 => An+1-(n+1)=2An-n+1-(n+1)=2An-2n=2(An-n)
故{An-n}是等比数列，公比是2，首项是A1-1=2-1=1
故An-n=2^(n-1) =>An=n+2^(n-1)