已知xy为正数,且x+4y=1,求1/x+1/y的最小值

已知xy为正数,且x+4y=1,求1/x+1/y的最小值
已知xy为正数,且x+4y=1,求1/x+1/y的最小值

已知xy为正数,且x+4y=1,求1/x+1/y的最小值
因为(x+4y)=1,所以二者相乘
1/x+1/y=(x+4y)(1/x+1/y)
展开得1/x+1/y=5+x/y+4y/x,
用基本不等式,1/x+1/y=5+x/y+4y/x >= sqrt(x/y × 4y/x)+5 =9（满足一正、二定、三相等）
所以1/x+1/y最小值为9

9

x+4y>=2根号（x*4y）=4根号（x*y），又x+4y=1，所以：）4根号（x*y）<=1，xy<=1/16,
所以：1/xy>=16
又1/x+1/y>=2根号（1/xy)>=2*根号(16)=2*4=8
所以1/x+1/y的最小值=8

1/x+1/y=(x+4y)(1/x+1/y)=1+4+x/y+4y/x>=5+2((4x/y)*(y/x))^0.5=9

1/x+1/y>=2√（1/xy）①
把x+4y=1代入①
1/x+1/y>=2√（1/（y-4y²））
y-4y²的最大值为1/16
代入 所以最小值为8

X+4y≥2根号4xy，即4根号xy，
那么4根号xy≤2根号4xy≤ X+4y=1，
根号xy≤1/4,则根号1/xy≥4
1/x+1/y≥2根号1/xy≥2*4=8
根号打不出来。。。

X=1-4Y
则即求1/（1-4Y）+1/Y
对Y求导，原式=(（-6Y+1)(2Y-1))/(1-4Y)^2Y^2
则有效极值点Y=1/6，
则原式=3+6=9

这里要用到一个知识点:若a＞0,b＞o,则a＋b≥2√ab, ∴y／x＋x／y≥2, ∵1／x＋1／y＝（x＋4y）／x＋（x＋4y）／y＝5＋4y／x＋x／y≥5＋2√（4y／x·y／x）＝9,所以1／x＋1／y的最小值是9