作业帮已知正整数a,b满足（a+b)的平方=a的立方+b的立方.求a+b的值.虽然没分,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 23:57:18
已知正整数a,b满足（a+b)的平方=a的立方+b的立方.求a+b的值.虽然没分,
已知正整数a,b满足（a+b)的平方=a的立方+b的立方.求a+b的值.
虽然没分,
已知正整数a,b满足（a+b)的平方=a的立方+b的立方.求a+b的值.虽然没分,
4(a³+b³)=(a+b)[(a+b)²-3ab]
=(a+b){(a+b)²-3[(a+b)²-(a-b)²]/4}
=(a+b)[(a+b)²/4+3(a-b)²/4]≥(a+b)³/4
(a+b)²=a³+b³≥(a+b)³/4
=>a+b≤4
则a只能等于1,2,3
代入可得(a=1,b=2)(a=2,b=1)(a=2,b=2)
（a+b)的平方=a的立方+b的立方
(a+b)^2=(a+b)(a^2-ab+b^2)
(a+b)(a+b-a^2+ab-b^2)=0
(a+b)(a^2-ab+b^2-a-b)=0
因为正整数a,b,所以a+b=0不成立.
a^2-ab+b^2-a-b=0
(a+b)^2-(a+b)=3ab <=3*(a+b)^2/4
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（a+b)的平方=a的立方+b的立方
(a+b)^2=(a+b)(a^2-ab+b^2)
(a+b)(a+b-a^2+ab-b^2)=0
(a+b)(a^2-ab+b^2-a-b)=0
因为正整数a,b,所以a+b=0不成立.
a^2-ab+b^2-a-b=0
(a+b)^2-(a+b)=3ab <=3*(a+b)^2/4
1/4*(a+b)^2-(a+b)<=0
(a+b)^2-4(a+b)<=0
(a+b)[(a+b)-4]<=0
a+b=0不成立.
得:a+b<=4
因为正整数a,b,a+b也是正整数,
只有a+b>=2
a只能等于1,2,3
代入可得(a=1,b=2)(a=2,b=1)(a=2,b=2)
收起
因为(a+b)^2=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),
所以a+b=a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab,
所以(a+b)^2-(a+b)=3ab,
因为ab<=[(a+b)/2]^2,
所以(a+b)^2-(a+b)<=3*(a+b)^2/4,
所以(a+b)^2/4-(a+b)<=0,
所以(a+b)^2-4(a+b)<...
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因为(a+b)^2=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2),
所以a+b=a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab,
所以(a+b)^2-(a+b)=3ab,
因为ab<=[(a+b)/2]^2,
所以(a+b)^2-(a+b)<=3*(a+b)^2/4,
所以(a+b)^2/4-(a+b)<=0,
所以(a+b)^2-4(a+b)<=0,
所以0<=a+b<=4,
因为a,b是正整数，
所以a+b>=2,
所以2<=a+b<=4,所以a+b可取2，3，4.
当a+b=2时，a=b=1,
此时(a+b)^2=4,a^3+b^3=2,不合，舍去；
当a+b=3时，a=1,b=2或a=2,b=1,
此时(a+b)^2=9,a^3+b^3=2^3+1^3=9,符合题意；
当a+b=4时，a=1,b=3或a=b=2或a=3,b=1,
当a=1,b=3或a=3,b=1时，
(a+b)^2=16,a^3+b^3=a^3+1^3=28,不合；
当a=b=2时，(a+b)^2=16,a^3+b^3=2^3+2^3=16,符合题意.
综上所述，a=2,b=1
或a=1,b=2
或a=b=2.
所以a+b的值为3或4.
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