求微分方程的特解:x^2y''+xy'=1 y|x=1=0 y'|x=1=1

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/27 16:12:22

求微分方程的特解:x^2y''+xy'=1 y|x=1=0 y'|x=1=1
求微分方程的特解:x^2y''+xy'=1 y|x=1=0 y'|x=1=1

求微分方程的特解:x^2y''+xy'=1 y|x=1=0 y'|x=1=1
令x=e^t,则t=ln(x)
dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=(1/x)(dy/dt)
y''=(dy'/dt)(dt/dx)=(1/x^2)(d^2y/dt^2-dy/dt)
带入原式
d^2y/dt^2=1
积分两次得y=(1/2)t^2+ct+c'
换回变量y=(1/2)(lnx)^2+clnx+c'
带入初始条件得c=1,c'=0
所以y=(1/2)(lnx)^2+lnx