如图,在三角形ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若B、P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N,连接PM、PN；（1）延长MP交CN于点E.求证：三角形BPM≌三角形CPE；PM＝PN

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 07:36:36

如图,在三角形ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若B、P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N,连接PM、PN；（1）延长MP交CN于点E.求证：三角形BPM≌三角形CPE；PM＝PN
如图,在三角形ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若B、P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N,连接PM、PN；（1）延长MP交CN于点E.求证：三角形BPM≌三角形CPE；PM＝PN

如图,在三角形ABC中,点P为BC边中点,直线a绕顶点A旋转,若B、P在直线a的异侧,BM⊥直线a于点M,CN⊥直线a于点N,连接PM、PN；（1）延长MP交CN于点E.求证：三角形BPM≌三角形CPE；PM＝PN
如图2,∵BM^直线a于点M,CN^直线a于点N,
BMN=?CNM=90°,∴BM//CN,MBP=?ECP,
又∵P为BC边中点,∴BP=CP,又∵?BPM=?CPE,∴△BPM@△CPE,
k ∵△BPM@△CPE,∴PM=PE,∴PM= ME,∴在Rt△MNE中,PN= ME,
∴PM=PN；

（1) 证明：j 如图2，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，
∴ÐBMN=ÐCNM=90°，∴BM//CN，∴ÐMBP=ÐECP，
又∵P为BC边中点，∴BP=CP，又∵ÐBPM=ÐCPE，∴△BPM@△CPE，
k ∵△BPM...

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（1) 证明：j 如图2，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，
∴ÐBMN=ÐCNM=90°，∴BM//CN，∴ÐMBP=ÐECP，
又∵P为BC边中点，∴BP=CP，又∵ÐBPM=ÐCPE，∴△BPM@△CPE，
k ∵△BPM@△CPE，∴PM=PE，∴PM=1/2 ME，∴在Rt△MNE中，PN=1/2 ME，
∴PM=PN；

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没有图是不能做的

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如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；
(1) 延长MP交CN于点E(如图2)。j 求证：△BPM@△CPE；k求证：PM = PN ；
(2) 若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变。此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3) 若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变。请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由。
答案：
(1) 证明：j 如图2，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，
∴ÐBMN=ÐCNM=90°，∴BM//CN，∴ÐMBP=ÐECP，
又∵P为BC边中点，∴BP=CP，又∵ÐBPM=ÐCPE，∴△BPM@△CPE，
k ∵△BPM@△CPE，∴PM=PE，∴PM=1/2 ME，∴在Rt△MNE中，PN=1/2 ME，
∴PM=PN；
(2) 成立，如图3，
证明延长MP与NC的延长线相交于点E，∵BM^直线a于点M，CN^直线a于点N，
∴ÐBMN=ÐCNM=90°，∴ÐBMN+ÐCNM=180°，∴BM//CN，∴ÐMBP=ÐECP，
又∵P为BC中点，∴BP=CP，又∵ÐBPM=ÐCPE，∴△BPM@△CPE，∴PM=PE，
∴PM=1/2 ME，则在Rt△MNE中，PN=1/2 ME，∴PM=PN。

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∵P为BC的中点 ∴BP=CP 又∵BM⊥a，CN⊥a ∴BM‖CN ∴∠CBM=∠NCP
又∵在三角形BPM≌三角形CPE中 ∠BPM=∠EPC,BP=CP ∠CBM=∠NCP
∴三角形BPM≌三角形CPE
∵三角形BPM≌三角形CPE∴MP=PN ∴P为ME的中点。又∵CN⊥直线a ∴三角形MNE是直角三角形 ∴PM=PN

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