作业帮梅涅劳斯定理详细证明过程每一步证明相应的理由、定理、公式都要写明白.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 07:27:37
梅涅劳斯定理详细证明过程每一步证明相应的理由、定理、公式都要写明白.
梅涅劳斯定理详细证明过程
每一步证明相应的理由、定理、公式都要写明白.
梅涅劳斯定理详细证明过程每一步证明相应的理由、定理、公式都要写明白.
梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的.它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1.
证明：
过点A作AG‖BC交DF的延长线于G,
则AF/FB=AG/BD ,BD/DC=BD/DC ,CE/EA=DC/AG.
三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1
它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1,则F、D、E三点共线.利用这个逆定理,可以判断三点共线.
证明一
过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，
则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG
三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1
证明二
过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF
所以有AF/FB×BD...
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证明一
过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，
则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG
三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1
证明二
过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF
所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1
证明三
连结BF。
（AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA)
=（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF）
=（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF）
=1
证明四
过三顶点作直线DEF的垂线，AA‘，BB'，CC'
有AD：DB=AA’：BB' 另外两个类似， 三式相乘得1
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