三角形的面积和周长是什么关系?如果是用海伦公式，

三角形的面积和周长是什么关系?如果是用海伦公式，
三角形的面积和周长是什么关系?
如果是用海伦公式，

三角形的面积和周长是什么关系?如果是用海伦公式，
证明（1）
　　与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明.设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为 　　cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab 　　S=1/2*ab*sinC 　　=1/2*ab*√(1-cos^2 C) 　　=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] 　　=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] 　　=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] 　　=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] 　　=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 　　设p=(a+b+c)/2 　　则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,　　上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] 　　=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 　　所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
证明（2）
　　我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”.它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是的三角形,要找出它来并非易事.所以他们想到了三角形的三条边.如果这样做求三角形的面积也就方便多了.但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”.　　秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜.“术”即方法.三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数,小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个.相减后余数被4除,所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积.　　所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=q,p为“隅”,q为“实”.以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以 　　q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 　　当P=1时,△ 2=q,　　△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 　　因式分解得 　　△ ^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] 　　=1/16[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2] 　　=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) 　　=1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) 　　=1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] 　　=p(p-a)(p-b)(p-c) 　　由此可得：　　S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 　　其中p=1/2(a+b+c) 　　这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”.　　S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a.　　根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算.如下题：　　已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD的面积 　　这里用海伦公式的推广 　　S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边） 　　代入解得s=8√ 3
证明（3）
　　在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c 　　O为其内切圆圆心,r为其内切圆半径,p为其半周长 　　有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1 　　r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r 　　∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2 　　∴ r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2) 　　=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2 　　=ptanA/2tanB/2tanC/2 　　=r 　　∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3 　　∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2) 　　=p(p-a)(p-b)(p-c) 　　∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c) 　　证明(4) 　　通过正弦定理:和余弦定理的结合证明 (具体可以参考证明方法1)
编辑本段推广
　　关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：　　设△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p = (a+b+c)/2,则 　　S△ABC 　　=1/2 aha 　　=1/2 ab×sinC 　　= r p 　　= 2R^2sinAsinBsinC 　　= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]