正余弦定理题在△ABC中,A最大,C最小,且A=2C,a+c=2b,求此三角形三边之比.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 13:05:33

正余弦定理题在△ABC中,A最大,C最小,且A=2C,a+c=2b,求此三角形三边之比.
正余弦定理题
在△ABC中,A最大,C最小,且A=2C,a+c=2b,求此三角形三边之比.

正余弦定理题在△ABC中,A最大,C最小,且A=2C,a+c=2b,求此三角形三边之比.
正弦定理:a/sinA=c/sinC=b/sinB,得到(a+c)/(sinA+sinC)=b/sinB
又a+c=2b,所以:2sinB=sinA+sinC
sinB=sin(180-A-C)=sin(A+C)=sin3C=2sin3C/2cos3C/2
sinA+sinC=sin2C+sinC=2sin3C/2cosC/2
sinC+sin2C=2sin3C,cosC/2=2cos3C/2=2*(4cos^3 C/2 - 3cosC/2)
令cosC/2 = X,即:8x^3 -6x=x,8x^2=7,x^2=7/8
cosC=2cos^2 C/2 -1 = 2x^2-1 = 2*(7/8)-1 = 3/4
sinC=√7/4
sin2C=2sinCcosC=2*3/4 *√7/4 =3√7/8
sin3C=1/2(sinC+sin2C)=5√7/16
sinA:sinB:sinC=sin2C:sin3C:sinC=6:5:4
a:b:c=sinA:sinB:sinC=6:5:4

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