作业帮帮忙求一下1/(x^2(1+x^2)^0.5)的不定积分
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/16 04:26:12
帮忙求一下1/(x^2(1+x^2)^0.5)的不定积分
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∫ dx/[x²√(x²+a²)]
令x=a*tany,dx=a*sec²y dy
√(x²+a²)=√(a²*tan²y+a²)=a*secy
原式=∫ a*sec²y/(a²*tan²y*a*secy) dy
=(1/a²)∫secy/tan²y dy
=(1/a²)∫1/cosy*cos²y/sin²y dy
=(1/a²)∫cscycoty dy
=(-1/a²)cscy + C
由√(x²+a²)=√(a²*tan²y+a²)=a*secy
secy=√(x²+a²)/a
cosy=a/√(x²+a²),cos²y=a²/(x²+a²)
cscy=1/siny=1/√(1-cos²y)=1/√[1-a²/(x²+a²)]=1/√[x²/(x²+a²)]=√(x²+a²)/x
∴原式=(-1/a²)*√(x²+a²)/x + C
=-√(x²+a²)/(a²x) + C
这里a=1
=-√(x²+1)/x + C
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