高一数学暑假作业求解!在正三棱锥P-ABC(顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中,AB=4,PA=8,过A作与PB,PC分别交于D和E的截面,则截面△ADE的周长的最小值是▁▁▁▁.PS:请带答案及过程,谢

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 12:15:36

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高一数学暑假作业求解!
在正三棱锥P-ABC(顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中,AB=4,PA=8,过A作与PB,PC分别交于D和E的截面,则截面△ADE的周长的最小值是▁▁▁▁.
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高一数学暑假作业求解!在正三棱锥P-ABC(顶点在底面的射影是底面正三角形的中心)中,AB=4,PA=8,过A作与PB,PC分别交于D和E的截面,则截面△ADE的周长的最小值是▁▁▁▁.PS:请带答案及过程,谢
将P-ABC侧面展开,因为A点展开后为A和A‘两点,所以PAB,PBC,PCA‘在一个平面上.
所以ADE周长为AD+DE+EA’应该最小
则ADEA‘共线时最小
PAB为一个三边为8,8,4的三角形
则角BPA的余弦cosP=7/8,sinP=15^0.5/8,则sin2P=7*15^0.5/32,cos2P=34/64
cos3P=cos2PcosP-sin2PsinP=7*34/512-105/256=28/512=7/128
所以三角形ADE周长最小为(64+64-128*7/128)^0.5=11

画它的侧面展开图,(五边形)PABCA',连接AA',AA'的长就是周长的最小值啦。然后用余弦定理,16=64+64-2*8*8*cosθ,x的平方=64+64-2*8*8*cos3θ。把x求出来是11。所以周长最小值是11

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