作业帮若执教三角形的周长是L为定值,求三角形面积的最大值?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 17:48:12
若执教三角形的周长是L为定值,求三角形面积的最大值?
若执教三角形的周长是L为定值,求三角形面积的最大值?
若执教三角形的周长是L为定值,求三角形面积的最大值?
设两直角边分别为x,y,面积为s.
L=x+y+根号（x^2+y^2) >= 2根号(xy)+根号(2xy) = (2+根号2)根号（2s).
[因为xy=2s]故（2+根号2）^2*2s
是正三角形，S=根号3/4*(L/3)^2=根号3/36
设三边为a,b,c,且a^2+b^2=c^2,a+b+c=L
所以a+b+√(a^2+b^2)=L
因为a+b+√(a^2+b^2)>=2√ab+√(2ab)=(2+√2)*(√ab)
所以(2+√2)*(√ab)<=L
所以√ab<=L/(2+√2)
所以面积S的最大值为1/2*[L/(2+√2)]=(3-2√2)L^2/4.
1/(12+8*根号2)
设△的斜边长是c,一个锐角是A.那么二直角边的长分别是csinA,ccosA.
c+csinA+cosA=L--->c=L/(1+sinA+cosA)
--->S=c^2/2*sinAcosA
=L^2*sinAcosA/[2(1+sinA+cosA)^2]
令t=1+sinA+cosA
--->t^2=1+(sinA)^2+(cosA)^2+2s...
全部展开
设△的斜边长是c,一个锐角是A.那么二直角边的长分别是csinA,ccosA.
c+csinA+cosA=L--->c=L/(1+sinA+cosA)
--->S=c^2/2*sinAcosA
=L^2*sinAcosA/[2(1+sinA+cosA)^2]
令t=1+sinA+cosA
--->t^2=1+(sinA)^2+(cosA)^2+2sinA+2cosA+2sinAcosA
=2(1+sinA+cosA+sinAcosA)
=2t+2sinAcosA.
--->sintcost=(t^2-2t)/2
--->S=L^2*(t^2-2t)/(4t^2)
=(L^2)/4*(t-2)/t
=(1/t-2)*L^2/4
因为,t=1+sinA+cosA=1+2^.5*sin(A+Pi/4)
0
--->2<1+2^.5sin(A+Pi/4)+<1+2^.5
--->2
故1/t-2=<-1+2^.5
--->S=<(-1+2^.5)/4*L^2
故当A=Pi/4,c=L/(1+2^.5),a=b=L(2-2^.5)时,
面积S有最大值(-1+2^.5)/4*L^2.
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