作业帮AB是圆心O的弦,C是AB的三等分点,连结OC并延长⊙O于点D.若OC=3,CD=2,则圆心O到弦AB的距离是
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 05:54:36
AB是圆心O的弦,C是AB的三等分点,连结OC并延长⊙O于点D.若OC=3,CD=2,则圆心O到弦AB的距离是
AB是圆心O的弦,C是AB的三等分点,连结OC并延长⊙O于点D.若OC=3,CD=2,则圆心O到弦AB的距离是
AB是圆心O的弦,C是AB的三等分点,连结OC并延长⊙O于点D.若OC=3,CD=2,则圆心O到弦AB的距离是
OA=OB=圆的半径=OC+CD=5
设AB的中点为E,因为C是AB的三等分点,所以CE=AE/3
设OE=x,AE=y,三角形AOE是直角三角形,根据勾股定理有：
x^2+y^2=5^2=25
三角形COE是直角三角形,根据勾股定理有：
x^2+(y/3)^2=3^2=9
上式减下式有(y^2)*8/9=16
y^2=18
所以,x^2=7
O到AB的距离就是OE,等于根号7
解，
因为具有对称性，所以无论C是距离A较近的三等分点还是距离B较近的三等分点，不影响已知条件和解题过程。这里不妨设C是距离A较近的，即AC = 1/3 * AB
因为圆半径OD = OC+DC=5，所以OA=5
过O做OP垂直AB于P，则OP长度即为O到弦AB的距离。
在直角三角形OPA中，cos角OAP = AP / OA = (1/2 * AB)/OA = ...
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解，
因为具有对称性，所以无论C是距离A较近的三等分点还是距离B较近的三等分点，不影响已知条件和解题过程。这里不妨设C是距离A较近的，即AC = 1/3 * AB
因为圆半径OD = OC+DC=5，所以OA=5
过O做OP垂直AB于P，则OP长度即为O到弦AB的距离。
在直角三角形OPA中，cos角OAP = AP / OA = (1/2 * AB)/OA = AB / 10
在三角形OAC中，AC = 1/3 AB, AO = 5, OC = 3
根据余弦定理有：
AC^2 + AO^2 - 2*AC+AO*cosOAC = OC^2
其中cosOAC = cosOAP = AB/10
代入有：
1/9 * AB^2 + 25 - 1/3 * AB^2 = 9
即2/9 * AB^2 = 16
解得AB = 6*根号2
所以在直角三角形AOP中，AO = 5, AP = 1/2 * AB = 3*根号2
因此根据勾股定理，OP = 根号(25 - 18) = 根号7
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