过正方形ABCD的顶点A做对角线的平行线,在这条直线上取一点E,使BE=BD,且BE与AD交与点F.求证：DE=DF

过正方形ABCD的顶点A做对角线的平行线,在这条直线上取一点E,使BE=BD,且BE与AD交与点F.求证：DE=DF
过正方形ABCD的顶点A做对角线的平行线,在这条直线上取一点E,使BE=BD,且BE与AD交与点F.求证：DE=DF

过正方形ABCD的顶点A做对角线的平行线,在这条直线上取一点E,使BE=BD,且BE与AD交与点F.求证：DE=DF
证明：连AC交BD于M,过E作EN⊥BD,垂足为N
在正方形ABCD中,AM⊥BD,且AM=AC/2=BD/2
因为AE∥BD
所以AM=EN,
所以EN=BD/2,
因为BD=BE
所以在直角△BDE中,EN=BE/2,
所以∠EBD=30°,
所以∠DEB=75°,
∠EDA=∠BDE-∠ADB=75-45=30,
所以∠EFD=75,
所以∠FED=∠EFD,
所以DE=DF

如图所示,过正方形ABCD的顶点A做对角线BD的平行线，在这条直线上取一点E设AB＝1.BD＝√2.EG⊥BD,AO⊥BD, EG＝√2/2＝BD/2＝ED/2. ∠EDB

∵ABCD是正方形，AE∥BD，∴∠EAD=∠ADB=45°
在△ABE中，由正弦定理sinBAE/sinAEB=BE/AB，
其中sinBAE=sin(90°+45°)=cos45°=√2/2，
BE/AB=BD/AB=√2，
∴（√2/2）/sinAEB=√2，得sinAEB=1/2，
∵∠BAE是钝角，∴∠AEB是锐角，∠AEB=30°。
∵A...

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∵ABCD是正方形，AE∥BD，∴∠EAD=∠ADB=45°
在△ABE中，由正弦定理sinBAE/sinAEB=BE/AB，
其中sinBAE=sin(90°+45°)=cos45°=√2/2，
BE/AB=BD/AB=√2，
∴（√2/2）/sinAEB=√2，得sinAEB=1/2，
∵∠BAE是钝角，∴∠AEB是锐角，∠AEB=30°。
∵AE∥BD，∴∠EBD=∠AEB=30°，
BE=BD，∴∠BED=∠BDE=(180°-30°)/2=75°；
在△DEF中，∠EDF=75°-45°=30°，
∠DFE=180°-75°-30°=75°=∠DEF，
∴DE=DF。

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