作业帮已知抛物线上y=x²上两不同点M,N关于y=-kx+9/2对称,求k的范围唉,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 07:07:55
已知抛物线上y=x²上两不同点M,N关于y=-kx+9/2对称,求k的范围唉,
已知抛物线上y=x²上两不同点M,N关于y=-kx+9/2对称,求k的范围
唉,
已知抛物线上y=x²上两不同点M,N关于y=-kx+9/2对称,求k的范围唉,
我们设M、N的横坐标分别a、b,则对应的纵坐标是a^2、b^2
即M(a,a^2),N(b,b^2)
因为MN关于y=-kx+9/2对称,所以MN的中点在直线上,并且MN与直线垂直,即MN的斜率与-k的积是-1,所以有：
(a^2-b^2)/(a-b)*(-k)=-1,化简有 (a+b)*k=1
(a^2+b^2)/2=-k*(a+b)/2+9/2,化简有 a^2+b^2=8
即变成了在a^2+b^2=8条件下求(k=1/(a+b)的取值范围
a^2+b^2=8,是一个圆,为了书写简单,我们令a=2√2*sint,b=2√2*cost
这时k=1/(2√2sint+2√2cost)
1/k=4(cos(π/4)*sint+sin(π/4)*cost)
k=1/(4*sin(t+π/4))
所以有k>=1/4
设MN的方程为x-ky+c=0 (k≠0)
代入y=x²
y=(ky-c)²
k²y²-(2kc+1)y+c²=0
判别式=(2kc+1)²-4k²c²>0
4kc+1>0
2kc>-1/2
MN中点纵坐标 (2kc+1)/2k&...
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设MN的方程为x-ky+c=0 (k≠0)
代入y=x²
y=(ky-c)²
k²y²-(2kc+1)y+c²=0
判别式=(2kc+1)²-4k²c²>0
4kc+1>0
2kc>-1/2
MN中点纵坐标 (2kc+1)/2k²
横坐标 (2kc+1)/2k -c=1/2k
中点在y=-kx+9/2上
(2kc+1)/2k²=4
2kc+1=8k²
2kc=8k²-1>-1/2
所以 8k²>1/2
k²>1/16
k>1/4或k< -1/4
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