证明：不存在整数x,y使x²+3xy-2y²=122成立

证明：不存在整数x,y使x²+3xy-2y²=122成立
证明：不存在整数x,y使x²+3xy-2y²=122成立

证明：不存在整数x,y使x²+3xy-2y²=122成立
证明：假设存在整数解(x,y),将原方程看成是关于x的一元二次方程x²+3yx-(2y²+122)=0
通过求根公式可知,判别式Δ=17y²+488,x=[-3y±√(17y²+488)]/2
无论y为奇数还是偶数,只要存在使得判别式为完全平方数,则x必为整数!
令k²=17y²+488,即k²-17y²=488,其中y、k均为整数!只要求出即可.
采用同余法解决最好!
(1)若y为偶数2n,则17y²≡0 (mod68).又488≡12 (mod68),要成立,必须k²≡12 (mod68).但12不是完全平方数,k同余无解!
(2)若y为奇数2n+1,则17y²=68(n²+n)+17≡17 (mod68),又488≡12 (mod68),要成立,必须k²≡29 (mod68).但29不是完全平方数,k同余无解!
综合上述：k²=17y²+488没有整数解!所以原方程x²+3xy-2y²=122没有整数解.

用二次剩余理论证明.
用(k/p)表示k mod p的Legendre符号.
首先用二次互反律计算(17/61):
(17/61) = (61/17) = (27/17) = (3/17) = (17/3) = (2/3) = -1, 即17不是mod 61的二次剩余.
假设整数x, y满足x²+3xy-2y² = 122, 则有x²+...

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用二次剩余理论证明.
用(k/p)表示k mod p的Legendre符号.
首先用二次互反律计算(17/61):
(17/61) = (61/17) = (27/17) = (3/17) = (17/3) = (2/3) = -1, 即17不是mod 61的二次剩余.
假设整数x, y满足x²+3xy-2y² = 122, 则有x²+3xy-2y² ≡ 0 (mod 61).
于是(2x+3y)²-17y² = 4(x²+3xy-2y²) ≡ 0 (mod 61), 即得(2x+3y)² ≡ 17y² (mod 61).
若y不被61整除, 则存在整数z使yz ≡ 1 (mod 61).
可得((2x+3y)z)² = (2x+3y)²z² ≡ 17y²z² ≡ 17 (mod 61), 与17不是mod 61的二次剩余矛盾.
若y被61整除, 则由x² ≡ x²+3xy-2y² ≡ 0 (mod 61)可知x也被61整除.
可得x²+3xy-2y²被61²整除, 与x²+3xy-2y² = 122矛盾.
因此x²+3xy-2y² = 122无整数解.

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