内拿破仑三角形如何证明

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 18:08:47

内拿破仑三角形如何证明
内拿破仑三角形如何证明

内拿破仑三角形如何证明

证明：   如图,分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长,向△ABC外作等边三角形（△BCC'、△ACA'、△ABB'）,设这三个三角形的中心分别为D,E,F,   则：∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°   以点A为圆心,以AF长为半径作弧；以点E为圆心,以DC长为半径作弧.设两弧在多边形AFBDCE内交于点G.则AG=AF,GE=DC.   连接GF、GA、GE,DE、DF、EF.   ∵△ABF、△BCD、△ACE都是底角为30°的等腰三角形（即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°）   ∴△ABF∽△BCD∽△ACE,   ∴AF/AB = AE/AC = DC/BC   又∵AG=AF,GE=DC   ∴AG/AB = AE/AC = GE/BC   ∴△AGE∽△ABC   ∴∠GAE=∠BAC   ∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°   又∵AG=AF   ∴△AGF为等边三角形   ∴AG=AF,∠AGF=60°   ∵△AGE∽△ABC   ∴∠AGE=∠ABC   又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°   ∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°   ∴∠FBD=∠FGE   ∵在△FBD和△FGE中,   FB=FG,∠FBD=∠FGE,BD=GE   ∴△FBD≌△FGE(SAS)   ∴FD=FE   同理,FD=DE   ∵FD=DE=FE   ∴△DEF为等边三角形   即“外拿破仑三角形”是等边三角形.（在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形,则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形）

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